本站原创摘 要：指数函数法是求非线性偏微分方程精确解的简便、有效地方法之一,利用这种方法可以求出一大类非线性偏微分方程的精确解,是进一步获得具有物理背景的孤子解、周期解等的有效途径.本文用Maple数学软件实现了指数函数法的过程,并求得了非线性Schrodinger方程的一类精确解.
关 键 词：Maple数学软件；指数函数法；非线性Schrodinger方程；精确解
中图分类号：O241文献标识码：A文章编号：1007-9599(2011)23-0000-01
RequirementsoftheExactSolutionofSchrodingerEquationBasedonMapleMathematicalSoftware
XiaHongming
(SchoolofMathematicsandStatisticsTianshuiNormalUniversity,Tianshui741001,China)
Abstract:Theexponentialfunctionmethodistofindexactsolutionsofnonlinearpartialdifferentialequationissimple,effectivemethods,theuseofthiethodcanfindalargeclassofexactsolutionsofnonlinearpartialdifferentialequationsisobtainedwithaphysicalbackgroundforfurthersolitonsolutions,periodicsolutionsandothereffectiveway.Inthispaper,mathematicalsoftwareMapleexponentialfunctionmethodintheprocess,andobtainthenonlinearSchrodingerequationofaclassofexactsolutions.
Keywords:Maplemathematicalsoftware,Exponentialfunctionmethod,NonlinearSchrodingerequation,Exactsolution
一、引言
非线性偏微分方程的求解是各门学科中都会遇到的问题,一般来说,只有在非常特殊的情况下才能求得有显式表达式的精确解,如孤子解通常是偏微分方程的行波解,目前已有多种求显式行波解的方法,如反散射方法、Bä,cklund变换、Hirota双线性方法、指数函数法等,其中指数函数法是近年来求非线性偏微分方程精确解的简便而有效地方法之一,用这种方法可以求出一大类非线性偏微分方程的精确解.
二、指数函数法简述
对于一个给定的非线性偏微分方程
（1）
为求方程的行波解,令
,,（2）
其中为待定常数,将（2）带入（1）约化成的常微分方程
．（3）
令
,（4）
其中和和是待定常数．和为待定常数．利用齐次平衡法确定与与的关系,并且通过解代数方程组能够确,就求出了偏微分方程的精确行波解．
三、求非线性Srodinger方程精确解的Maple实现
非线性薛定谔方程是数学物理中一类重要的非线性演化方程,在量子力学、非线性光学、电磁学等众多领域有着广泛的应用,故对该方程的求解进行研究有着重要的物理意义．本文使用指数函数法、借助于Maple求非线性薛定谔方程的精确解．
通过变换
(5)
可将非线性薛定谔方程
(6)
化为
．(7)
下面是求解方程（7）的Maple源代码：
>restart；
>eq1：等于-r(x)*omega+diff(r(x),x,x)+2*(1+B)*(r(x))^3：
>r(x)：等于(a*exp(alpha*x)^2+b*exp(alpha*x)+c)/(f*exp(alpha*x)^2+g*exp(alpha*x)+h)：
>eq1：等于numer(eq1)：
>eq1：等于collect(eq1,exp(alpha*x))：
>sys1：等于coeffs(eq1,exp(alpha*x))：
>sys1：等于{-omega*c*h^2+2*c^3+2*B*c^3,-omega*a*h^2+6*a*c^2
+6*B*a*c^2-omega*c*g^2-2*omega*c*f*h+alpha^2*c*g^2-alpha^2*b*g*h+6*B*b^2*c-4*alpha^2*c*f*h+4*alpha^2*a*h^2-2*omega*b*g*h+6*b^2*c,-omega*b*h^2-2*omega*c*g*h-alpha^2*c*g*h
+6*b*c^2+6*B*b*c^2+alpha^2*b*h^2,-omega*b*g^2+3*alpha^2
*c*f*g+2*B*b^3-2*omega*c*f*g+12*B*a*b*c-6*alpha^2*b*f*h-2*omega*b*f*h+12*a*b*c+2*b^3+3*alpha^2*a*g*h-2*omega*a*g*h,-omega*a*f^2+2*B*a^3+2*a^3,-2*omega*b*f*g-2*omega*a*f*h
-omega*c*f^2+6*B*a*b^2+alpha^2*a*g^2-4*alpha^2*a*f*h+6*a^2*c-alpha^2*b*f*g-omega*a*g^2+4*alpha^2*c*f^2+6*B*a^2*c+6*a*b^2,-alpha^2*a*f*g+6*a^2*b+6*B*a^2*b-2*omega*a*f*g
+alpha^2*b*f^2-omega*b*f^2}；
>solve(sys1,{a,b,c,f,g,h,B,omega,alpha})；
>a13：等于simplify(eval((a*exp(alpha*x)^2+b*exp(alpha*x)+c)/(f*exp(alpha*x)^2+g*exp(alpha*x)+h),{c等于c,omega等于-1/2*
alpha^2,g等于g,h等于h,alpha等于alpha,b等于b,a等于1/4*(b^2
*h^2-c^2*g^2)/c/h^2,f等于-1/4*(b^2*h^2-c^2*g^2)/h/c^2,B等于-1/4*(h^2*alpha^2+4*c^2)/c^2}))；
从而获得了方程(7)的如下精确解：
将(5)会代入上式,就求出了方程(3)的一类精确解.
四、小结
在用指数函数法求解的过程中,需要解非线代数方程组,手工计算很难完成,但是,借助于如Maple等数学软件可以轻松完成.上述源代码具有一定的普适性,不再赘述.