本站原创摘 要 ：随着利率市场化进程的推进,利率衍生产品定价也越来越成为人们关注的问题.对现有利率模型缺陷进行修正,使其更贴近市场波动特征,是目前中国定价模型研究的重点.主要对国内外对于Libor市场模型及其CMS价差期权定价的现有研究进行文献述评,在此基础上,提出该研究领域的进一步研究方向.基于随机波动率机制转换的Libor市场模型将成为对Libor所服从随机过程建模的重要方向,同时该模型也是对CMS价差期权定价的基础.
关 键 词 ：Libor市场模型；随机波动率；跳跃扩散；机制转换；CMS价差期权
中图分类号：F830文献标志码：A文章编号：1673-291X（2014）16-0154-04
Libor作为国际金融市场上的一种重要基准利率,对其所服从的随机过程建模准确与否也就成为以Libor为标的的衍生产品尤其是奇异衍生产品定价正确与否的前提.金融市场对Libor所服从的随机过程大都采用流行的Libor市场模型（LMM）,然而标准的LMM存在各种缺陷并不能有效反映波动率偏斜或者微笑等特征,这种缺陷对于奇异期权的定价显得尤为重要.
因此,本文研究内容主要包括两方面：第一,在标准的LMM基础上,加入具有随机波动率、跳跃、机制转换等性质的波动率随机过程对LMM进行扩展.第二,对CMS价差期权进行有效定价从而进一步扩展利率收益率曲线结构.
根据上述研究内容,本文将主要文献按一下结构进行回顾：（1）Libor市场模型的国内外研究现状；（2）CMS价差期权定价的国内外研究现状.
一、Libor市场模型文献综述
标准的LMM最初由Brace,Gatarek和Musiela（1997）,Jamshiaian（1997）以及Miltersen,Sandmann和Sondermann（1997）提出.该模型提出后,不但获得了市场和学术界的一致认可,而且在现今早已成为了市场基准模型.
从本质上来说,LMM是著名HJM模型的离散化形式.LMM与HJM相对比,其主要的优势在于该模型构建的是市场上可观测的远期利率,而不是数学意义上抽象的瞬时远期利率.并且利率衍生产品的定价在LMM框架下变得更为容易,尤其是利率上限、利率下限、利率互换期权等的定价同仍然是市场上最常用的Black（1976）公式保持一致.
然而标准的LMM主要缺陷在于其并不能有效获取可观察到的市场波动率偏斜或者微笑特征.未包含波动率偏斜或者微笑特征的期权定价模型,在对于奇异期权的定价中可能会导致严重的定价错误问题.因此现有文献提出各种对于LMM的扩展模型来试图包含市场波动率偏斜或者微笑特征.
(一)国外Libor市场模型研究现状
1.局部波动率对LMM的扩展
Andersen和Andreasen（2000）以标准的LMM为基础,在扩散项中引入非线性的远期利率来包含波动率偏斜特征,并讨论以利率上限、利率互换期权报价为基础的校准技术.他们以一般的CEV过程为例,推导出利率上限、利率互换期权定价的闭型解.
2.跳跃扩散对LMM的扩展
Eberlein和ö,zkan（2005）提出基于Lévy过程的LMM（Lévy-LMM）并给出模型的无套利条件.除此之外,他们提出一种将一般指数过程代替随机指数过程的方法,以及运用双向的拉普拉斯变换来得出利率上限、利率下限的精确定价公式.
Eberlein和koval（2006）以交叉货币期权为研究对象,在Lévy-LMM的基础上将其扩展到多币种形式.除此之外,他们推导出交叉货币衍生产品的闭形定价公式,以及运用双向的拉普拉斯变换来进行数值计算.
Belomestny和Schoenmakers（2011）提出一种高维跳跃空间下的跳跃扩散LMM,并采用考虑了局部协方差结构的非参数校准算法对模型进行校准.他们同时采用快速傅立叶方法对Libor衍生产品进行数值求解.
Eberlein和Grbac（2013）采用LMM对信用风险进行建模.他们将通常定义的无违约的远期Libor扩展成信用评级下的可违约债券并构建了以评级为基础的LMM.他们采用时间非齐次的Lévy过程为无违约和有违约前的Libor期限结构的随机过程.
Leippold和Strϕ,mberg（2014）提出一种新的时变Lévy-LMM以对利率上线和利率互换期权进行联合定价.他们将时变分成三部分,第一部分能够拟合波动率期限结构；第二部分能够产生随机波动率；第三部分包含了波动率偏斜.
3.随机波动率模型
Joshi和Rebonato（2003）在DD-LMM模型的基础上,检测设在时间τ时,确定性的远期利率瞬时波动率方程服从以下形式：σ（τ）等于（a+bτ）e-cτ+d.并检测设参数a、b、logc、logd相互独立且均服从Ornstein-Uhlenbeck过程,即当e代表上述四个任一参数时具有以下形式de等于λe（γe-e）dt+σedW（e）
t.
Piterbarg（2003）以互换期权为研究对象,在DD-LMM模型的基础上引入了随机波动率过程,从而形成了DD-SV-LMM具体形式如下：
dLn（t）等于（βLn（t）+（1-β）Ln（0））σk（t；n）（μk（t；n）+
dWk（t））
dz（t）等于θ（z0-z（t））dt+ηdV（t）
z（0）等于z0
〈dV,dW〉等于0
Andersen和Brotherton-Ratcliffe（2005）在LMM基础上引入了具有均值回归的性质的随机波动率过程,并通过近似展开技术提出了利率上限、利率互换期权的闭形的定价公式.
Wu和Zhang（2006）在LMM的基础上采用多重因子随机波动率方式进行扩展.随机波动率服从平方根扩散过程,并与远期利率相关.除此之外,他们运用傅里叶变换得出互换期权的闭形解.
Belomestny,Mathew 和Schoenmakers（2009）提出一种具有高维平方根波动率过程的LMM扩展模型.作为关键问题,他们要求局部协方差结构也保持随机的波动率,并运用快速傅立叶方法对模型进行数值求解.
Ladkau,Schoenmakers和Zhang（2013）提出一种具有替代扩散的多维随机波动率LMM（DD-SV-LMM）,其各自的远期Libor由平方根随机波动率过程驱动.同时,他们提出一种新的仿射近似方法并运用傅立叶变换方法对利率上限和利率互换期权进行定价.
4.马尔科夫机制转换模型
Elliott和Valchev（2004）提出一种机制转换随机波动率扩展的LMM.该模型中,瞬时远期Libor波动率服从连续时间其次马尔科夫链,同时波动率参数服从机制转换性质的平方根过程.他们以该模型为基础求解出利率上限的解析解,并且运用近似方法求解出利率互换期权的解析式.
Rebonato和Kainth（2004）在Joshi和Rebonato（2003）随机波动率模型的基础上引入了两机制随机波动率,克服了单一随机波动率模型的缺陷,更好的解释了隐含波动率.
Steinrücke,Zagst和Swishchuk（2013）在LMM的基础上通过对扩散项的扩展引入了具有马尔科夫机制转换性质的跳跃扩散（MSJD）项.除此之外,他们证明了其无套利条件,以及运用傅里叶定价技术衍生出了利率上限、利率下限、利率互换期权的定价公式.
（二）国内Libor市场模型研究现状
刘魁（2006）研究LMM对可赎回区间累积型产品的定价方法.通过布朗桥占用时间的分布,给出了计算Libor落在区间内天数的简便方法,极大地提高了计算的效率,并且得到了与市场报价相一致的计算结果.
刘畅（2008）以国内发行的两种远期利率衍生产品为例,对标准LMM进行系统讨论,并对模型的相关参数进行校准.作者运用蒙特卡罗模拟模拟方法中的欧拉方法和改进的欧拉方法对模型进行数值求解.
蒋承,郭黄斌和崔小勇（2010）以利率上限为研究对象,在标准LMM参数的校准基础上,得到远期利率的瞬时波动率,并利用蒙特卡罗模拟法与构建二叉树的方法对利率上限进行定价.
何平（2013）以汇丰银行于2010年末发行的一款挂钩美元LIBOR利率的区间累积型结构式理财产品为研究对象,讨论了在LIBOR市场模型下区间累积型利率衍生品的定价过程,并运用蒙特卡罗模拟方法对区间累积型利率衍生产品进行数值求解.
马俊海,张强（2013）以可赎回外汇结构性存款为研究对象,在标准LMM基础上加入了Heston随机波动率过程.他们运用Black逆推参数校准方法和MCMC参数估计方法对模型中的局部波动率和随机波动率过程中的参数进行校准和估计.
从上述文献可以看出,国外学者对于LMM的扩展较国内学者更为深入,国内学者对于LMM的扩展仅仅局限于随机波动率过程.但是国外学者对于LMM的扩展又存在各种局限性,诸如：局部波动率模型的缺陷在于虽然波动率具有单调偏斜性质,但是并不能产生波动率微笑特征.跳跃扩散模型的局限性在于对于为了产生波动率偏斜或者微笑,远期Libor利率需要产生较大的跳跃幅度,即远期利率的大幅下降,而这种情况对于利率而言并不现实.随机波动率模型的主要需解决的问题在于为了引入偏斜特征,从而使得驱动远期Libor利率和随机波动率的随机微分方程具有相关性.因此,进一步对LMM进行扩展具有现实的研究意义.
二、CMS价差期权定价的文献综述
CMS价差期权作为CMS类期权中的一种重要产品,对其产品结构进行分析并有效建模成为一项热点,有效定价的CMS价差期权能够进一步扩展利率收益率曲线结构.
(一)国外CMS价差期权定价研究现状
Mercurio,Pallicini和Banca等（2005）采用高斯短期利率模型以及随机化的参数对CMS为基础的衍生产品进行定价.他们简单的定价模型能够很好地拟合互换期权微笑以及CMS价差期权的市场.
Antonov和Arneguy（2009）以加入随机波动率的Libor市场模型（SV-LMM）为基础对欧式常到期日互换（CMS）产品进行一系列的近似定价.对于CMS价差期权,他们采用非线性测度变换技术,并使用二维拉普拉斯变换求解出带有复杂伽马函数的闭型解析式.
Wu 和Chen（2009）以多因子Libor市场模型（Multifactor-LMM）为基础对三种利率期权（Libor 与Libor、Libor与互换利率、互换利率与互换利率）进行定价.他们以CMS价差期权为例,提出一种在LMM框架下近似求解远期互换利率分布的方法.
Belomestny,Kolodko 和Schoenmakers（2010）以标准的Libor市场模型（LMM）为基础采取两种近似方法对CMS价差期权进行定价.第一种近似方法是对LMM的直接衍生.第二种近似方法是以线性的互换模型为检测设,采用凸性调整技术进行定价.
Hanton 和Henrard （2010）以多因子HJM模型为基础,对CMS、CMS价差类以及其他相似衍生产品进行分析并求解出近似定价公式.他们近似方法分为以下两种：以近似的期望方程求解出精确的解析解和以精确的期望方程求解出近似的解析解.他们的实证研究证明后者的近似误差更小.
Joshi和Yang（2010）运用替代扩散互换市场模型（DD-M）对CMS价差期权进行定价和对冲.他们发现CMS价差期权与平价的Black隐含波动率偏斜呈现弱相关性.
Lutz和Kiesel（2011）在流行的Libor市场模型中加入了随机波动率过程（SV-LMM）推导出CMS价差期权快速但精确的定价公式.他们的定价方法是基于快速估计Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程的密度函数而得出的.结合近似的互换利率动态方程,他们最终推导出CMS价差期权的半解析解.
Wu 和Chen（2011）提出一种具有非零执行的CMS价差期权近似定价公式.他们采用一般的对数正态分布来近似两种CMS利率的分布.对于具有非零执行的CMS价差期权他们采用多因子LMM为定价模型.
(二)国内CMS价差期权定价研究现状
廖容晨（2007）以标准的LMM为基础对CMS价差类期权进行定价,解决了HJM模型利率为负的可能性,利率爆炸以及瞬时远期利率无法从市场上直接观察的问题.
杨绣碧（2010）利用CMS利率近似于Libor的线性组合特征来设定LMM下CMS利率的近似随机过程.对于CMS价差期权,他们推导出三因子LMM下的无套利解析公式.
蔡昱宏（2012）以标准的LMM为基础通过蒙特卡罗模拟方法对CMS价差类期权进行定价.
陈曦（2012）采用互换市场模型（M）对CMS衍生产品进行定价.对于CMS价差期权作者运用条件积分方法求解出希腊值来近似表示其定价公式.同时作者通过广义M利用各波动率参数获取漂移项的估计值.
从上述文献可以看出,国内外学者对于CMS价差期权的定价大多采用LMM或者M,但是LMM相较于M具有更简便的计算过程,因此采用LMM比M更具有可操作性.同时,国内外学者对于采用的LMM大多为标准LMM或者SV-LMM,其存在一定的局限性.因此,采用进一步扩展的LMM对CMS价差期权定价具有现实的研究意义.
三、未来研究展望
综上所述,为了进一步体现市场中的波动率偏斜或者微笑特征,本研究拟在随机波动率Libor市场模型的基础上,加入跳跃扩散项并赋予机制转换性质以形成具有机制转换性质的随机波动率跳跃扩散Libor市场模型,从而构成机制转换下的随机波动率和跳跃扩散双重因子驱动的Libor市场模型以期更好的拟合Libor利率走势.同时本研究运用扩展的LMM通过各种近似方法对CMS价差期权进行有效定价.