本站原创【摘 要】从出土竹简《算数书》《数》和传世文献《九章算术》的比较可以看到,秦汉时期数学文献记载的关于土地面积的单位换算有“平方步与亩”的换算和“平方里与亩”的换算两种.前一种在三种文本中均比较常用,而换算的方式则没有明确给出,有时暗含在术文之中,且亩在实际运用中是记录面积最普遍的标准单位.第二种转换称为“里田术”,应用率不高,但转换方式有两种,第一种里田术公式无法找到理论依据,有拼凑结果的嫌疑.
【关 键 词 】《数》；《算数书》；《九章算术》；里田术；单位转换
1.中国早期数学文献简介
2007年12月湖南大学岳麓书院从香港抢救性收购了一批秦代竹简,这批竹简是继1975年云梦睡虎地秦简和2002年湘西里耶秦简之后的又一次重要发现[1].其中涉及数学内容的竹简二百四十余枚,总字数6300字左右,完整算题80余例,另有解决某一类问题的单独术文.按照原简背面的标题,这部分被称为《数》,经研究确定其成书时间早于1983年出土于湖北张家山汉墓的《算数书》,成为迄今为止所发现的最早的系统性中国数学文献.
秦汉时期的数学史料极其稀缺,每一次考古发现涉及数学的部分,都值得深入研究.但其他一些涉及数学内容的竹简,仅记载零星的数学资料,如清华大学所藏战国竹简中有记载乘法运算的《算表》[2],2002年发现的里耶秦简中也有“九九乘法口诀”,其能提供的数学史信息均不够丰富.少有像《算数书》和《数》这样较为完整具、编排较成体系的著作.《算数书》自2001年简文公布以来,在数学史界产生了重大影响,关于其作者以及与《九章算术》的关系等问题,学界均作了深入研究和讨论,中国数学史的开篇将因此改写,《算数书》成为不可不书的重要一章.2012年12月《数》的原简照片出版公布,经考古学界和数学史界的初步研究发现,与《算数书》一样,《数》的题目类型、内容、表述方式和解题思路跟汉代成书的经典传世文献《九章算术》有密切联系,与《算数书》也有部分呼应,另外还出现了其他早期数学文献中罕见的驻扎营军问题.
而一直作为数学史界研究重点的《九章算术》,在有了《算数书》和《数》这两部出土文献作为文本上的“他者”（the other）的对照,也隐隐凸显出以往被忽略的一些特性,如更宏大的问题背景、更严谨的数据处理和更复杂的制度设计思想等.这或许意味着,在中国传统数学实用取向的基础上,还分化出不同的层次.有必要将传世文献《九章算术》与出土文献《算数书》《数》就其中的典型问题进行深入比较,进一步解释这三者之间的联系与区别,这将有助于我们加深对中国早期数学的理解和认识.
2.秦汉时期的土地面积单位转换问题
上述三种文献中,关于面积单位换算有“平方步与亩”的换算和“平方里与亩”的换算两种.前一种在三文本中均比较常用,而换算的方式往往没有明确给出,有时暗含在术文之中,基本上可以认为这种换算是极为普通的背景知识,且亩在实际运用中是记录面积的最普遍单位标准.我们看到三种文本中凡是结果超过二百四十平方步的答案,全部转换为一亩（又）多少步的形式.
而对于第二种转换,三文本中都专门提及,称为“里田术”,但显然应用率不高,《数》中只有里田术文,无算例；《算数书》中有两种术文,一道算例；《九章算术》中有术文,配合两道极为简单的算例.除此之外,未有以里作为单位记录的长度,以及把平方里转换为亩的情况.这与单位里的长度过大有关,依秦制,一里等于300步,在日常的土地测量中用到这么大的计量单位较少.《算数书》中里田术仅有的一道例题后,“直（置）提封以此为之”一句也为我们提示了这一点.提封,亦称提封田.《汉书地理志下》“提封田一万万四千四百一十三万六千四百五倾”,师古曰：“提封者,大举其封疆也.”[3]看来“平方里”的面积单位,在涉及边疆土地的丈量和划界中会使用到.但是,即便在经常处理宏大问题的《九章算术》中,这种计量和换算也很少见.
2.1 平方步与亩之间的转换
《九章算术》中首次提到平方步与亩之间的换算是在方田术文里,“以亩法二百四十步除之,即亩数.百亩为一倾”[4].《算数书》中第64题启广题题中使用了一亩等于240平方步的关系.“启广 回从（纵）卅步,为启广几何而为田一亩?曰：启【广】八步.术曰：以卅步为法,以二百步为实.启从（纵）亦如此.”[5]求为田一亩时的广长,直接以240（平方）步作为被除数,显然是默认了这一转换关系.而在《数》中的第1714号简记录的“除田之术”为《算数书》和《九章算术》所没有,肖灿博士认为此处模糊的首字可训解为开、启,给出或张开、伸展之意[6],并转引邹大海先生的观点,认为这与《算数书》中的“启广”、“启从”问题同意,但从内容来看,这却为“启广”、“启从”的逆运算.
除田之述（术）曰：以从（纵）二百步者,除广一步,得田一亩,除广十步,得田十亩,除广百步,得田一顷,除广千步得田【十倾】 1714
而笔者认为此处的意义更在于告诉了当从为240步、广为1步时的面积,240（平方）步即为一亩.并且间接提到了单位倾与亩之间的关系,“除广百步,（得百亩）,得田一倾”.在简0829、0954、0976、0761中都运用到了平方步与亩的换算.而可以推测简1714所在原简编连中的位置有可能在这些简之前,否则给出这样简单、化整的数据来说明一条术文,意义并不大.然而这个换算关系并非一直是统一的,“周代的田亩制度,一亩是一百平方步,到秦孝公时,商鞅废井田,开阡陌,制定的亩制是二百四十平方步.在汉武帝之前,周制与秦孝公之制并存,在秦地用的一直是二百四十平方步一亩,到了汉武帝时统一规定,均以二百四十平方步为一亩.”[7]在三种文献的少广问题中,都暗含着一亩等于二百四十平方步的条件,这种换算是直接拿来使用的.
2.2 平方里与亩之间的转换
我们再看介绍平方里与亩换算关系的里田术. 《数》中的里田问题比较简单：
里田述（术）曰：里乘里等于,〔里〕也,因而参之,有（又）参五之,为田三顷七十五亩. 0947
“叁之,有（又）叁五之”表示用3称,再用5连续称三次,这样一平方里就转化成了375亩,即三倾七十五亩.算术表示为：1（平方里）等于1×3×5×5×5等于375亩等于3倾75亩. 这与《算数书》中的一种表述十分类似：
里田术曰：里乘里,里也,广、从（纵）各一里,即直（置）一因而三之,有（又）三五之,即为回三顷七十五敌.其广从（纵）不等者,先以里相乘,已乃因而三之,有（又）三五之,乃成.[8]
我们先对这个1平方里等于375亩的结果作个解释.因为1里等于300步,那以平方步来算,其面积为300×300平方步,再结合一亩等于240平方步的默认条件,得到（300×300）/240等于375亩.这个结果与上面3×5×5×5的结果是完全一致的.但这个连乘式有何数学意义,分别为《算数书》和《数》作注释的彭浩先生和肖灿博士都没有给出.彭先生认为“此算法把一平方里为田三百七十五亩以3×（5×5×5）表示,省去把里化作平方步相乘,再以亩法相除的复杂数字计算,并以一位数代替多位数相乘,大大简化了运算.”[9]其实这里只是找到了一种等价的算式,而非简化了运算,（300×300）/240不能直接化简为3×（5×5×5）.其他数学换算思路也都无法得解.这里的算式有拼凑结果之疑,这种做法在《数》中一道盈不足算题里也可以体现.那《九章算术》在里田术方面是怎样记述的呢?
里田术曰：广从里数相乘得积里.以三百七十五乘之,即亩数.
亦是直接给出了换算结果,没有数据得来过程.即便连向来全面、严谨的刘徽在这里的注释也只写了“按：此术广从里数相乘得积里.[10]故方里之中有三顷七十五亩,故以乘之,即得商数也”,没有提到任何3×（5×5×5）的步骤.另查沈康身、李继闵两位先生对《九章算术》的经典注释,也都是用（300×300）/240来解释此结果.我们可以怀疑是张苍、耿寿昌在编纂《九章算术》或刘徽在注释《九章算术》时,将当时流传的这个不合理的运算给删去了.若是这样,对数学结果的接受,但不取其不合理的运算过程,这是数学知识的进步,或是更严谨的数学体系（如《九章算术》）对非理性的运算的筛选和过滤.
此外,《算数书》中的里田术还记载了另外一种转换方式,“有（又）曰：里乘里,里也,【因而三之】,以里之下即予廿五因而三之,亦其顷亩数也.”忽略其三或五相乘的部分,最终其表示的是将三百七十五亩先化为三倾七十五亩,把三倾七十五亩按单位拆分为三倾+七十五亩.这样在转换平方里为“倾-亩”的单位时,分别拿平方里数乘以“三倾”和“七十五亩”,前者得到的结果单位是倾,后者得到的结果单位是亩.彭浩先生认为这使得庞大的数字计算简化,并为《夏侯阳算经》中“身外加（减）法”之先声.[11]固然对于以算筹计算大数据相乘是有很大不便,但是后一种方法也需要在乘以七十五亩之后,将得到的结果再转化为“倾-亩”制,并与前一项以“倾”为单位者相加方可得到结果.
【参考文献】
[1]陈松长.岳麓书院所藏秦简综述[J].文物,2009（3）：75.
[2]李均明,冯立.清华简《算表》概述[J].文物,2013（8）：73-75.
[3]转引自彭浩.张家山汉简《算数书》注释[M].北京：科学出版社,2001：126.
[4]郭书春.《九章算术》译注[M].上海：上海古籍出版社,2009：13.
[5]张家山汉墓竹简整理小组.张家山汉墓竹简（二四七号墓）[M].北京：文物出版社,2006：153.
[6]肖灿.岳麓书院藏秦简《数》研究[D].2010：41.
[7]刘艳.张家山汉简《算数书》所见社会经济生活问题考察[D].2008：62.
[8]张家山汉墓竹简整理小组.张家山汉墓竹简（二四七号墓）[M].北京：文物出版社,2006：157.
[9]彭浩.张家山汉简《算数书》注释[M].北京：科学出版社,2001：126.
[10]郭书春.《九章算术》译注[M].上海：上海古籍出版社,2009：17.
[11]彭浩.张家山汉简《算数书》注释[M].北京：科学出版社,2001：127.
[责任编辑：丁艳]