用泰勒公式求函数极限的方法

【摘 要】在数学分析中,函数极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现,因此掌握好函数极限的求解方法是学习好数学分析的关键环节.本文就用泰勒公式求极限给予一个简单的概括,望对读者有所帮助.

【关 键 词 】函数；极限；泰勒公式

0 引言

对于求解函数极限的方法,有很多版本的数学分析书本中都谈到,很多参考文献和报刊中都详细的讲解了关于幂函数、指数函数极限的求解方法.裴礼文教授也详细的讲述了关于用洛必达法则来求函数的极限.而对于陈文灯教授也讲述了关于用等价无穷小与泰勒公式来求解函数的极限.以上关于用泰勒公式求函数极限的方法,本人也做了一些总结.

1.准备工作

在我们所学的微积分中,其所研究的对象是函数.对于变量之间是否有函数关系,就是要看是否存在一种对应原则,使得按照这个对应规则,当其中一个变量或几个变量（称为自变量）的取值确定之后,余下的另一个变量（称为因变量）的取值就被确定了.只有一个自变量的函数称为一元函数,有多个自变量的函数称为多元函数.

函数极限的两个定义：

（1）设f是在[a,+∞）上的一个函数,A是一个已经确定的数.如果对任意所给的ε>0,都存在一个正数M,其中M大于或等于a,使得当x>M时有f（x）-A<ε,则称函数f当x趋向+∞时它是以A为它的极限值,我们记为f（x）→A（x→+∞）.

在上述中正数M的作用和函数极限的定义差不多,表明x是充分大的程度；x是比M大的所有实数,而不只是一个正整数,因此,当x趋向正无穷大时,函数f以a为极限那么：a的很小的领域内必含有f在正无穷大的一个领域内的全部函数值.

（2）设函数f在以点a的某一个Uo（a,δ′）空心领域内有定义,其中A是一个定数,如果对于任意的一个ε>0,存在正数δ（<δ′）,使得当0

2.利用泰勒公式求极限

2.1 以下是一些常见的：

2.2 利用泰勒公式求不确定的式子中的极限

设f（x）与g（x）在x等于a的泰勒公式分别是

f（x）等于A（x-a）n+o（（x-a）n）,g（x）等于B（x-a）m+o（（x-a）m）,

其中A≠0,B≠0,则：

解 ：因为

又因为sinx2～x2（x→0）

3.总结

用泰勒求极限的方法,在我们具体遇到问题时要灵活运用它.对与常见的几种函数的泰勒公式展开式要记住,并灵活运用.总之,对求解函数的极限,我们对具体问题运用什么方法要具体对待.

【参考文献】

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社,1993：49.

[2]陈文灯.高等数学辅导[M].北京：世界图书出版社,2004：90-102.

[3]刘玉琏,付沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社,2010：13-21.

[责任编辑：汤静]