问题[1]:在△ABC中,∠B等于2∠A,则AC等于BC+AB·BC.
经过多方面的思考,我们得出以下解法:
证明一:如图1,在△ABC中,∠B等于2∠A.
图1
由正弦定理得:等于
∴2BC·cosA等于AC
∴cosA等于
又∵余弦定理:cosA等于
AC(AB-BC)等于BC·(AB-BC)(AB+BC)
当BC≠AB时,AC等于BC+BC·AB;
当BC等于AB时,此时△ABC为等腰直角三角形,等式依然成立.
证明二:如图2,作∠ABC的角平分线交AC于点D.
图2
∴∠ABD等于∠DBC等于∠A
∵∠BDC等于∠ABD+∠A等于∠ABC
∴△BDC≈△ABC
∴等于等于
即有:BC等于DC·AC①
BC·AB等于BD·AC②
∵AD等于BD
∴①+②等于AC等于BC+AB·BC
证明三:如图3,利用三角形面积公式可得:
图3
S等于×BC·AB·sinB①
S等于×AB·AC·sinA②
由①等于②得:cosA等于③
cosA等于④
由③等于④得:AC(AB-BC)等于BC·(AB-BC)(AB+BC)
当BC≠AB时,AC等于BC+BC·AB;
当BC等于AB时,此时△ABC为等腰直角三角形,等式依然成立.
证明四:如图4,以△ABC的AB边为X轴,过点C并且垂直于AB为Y轴.
图4
设A点坐标为(x,0),则C点坐标为(0,xtanA),B点坐标为(x-,0),为(-,0),为(-x,xtanA),
∴cosA等于等于
化简得:AC(AB-BC)等于BC·(AB-BC)(AB+BC)
当BC≠AB时,AC等于BC+BC·AB;
当BC≠AB时,此时△ABC为等腰直角三角形,等式依然成立.
在做一道题的时候,可以从多个方面入手进行思考、解答,不局限于一种思维模式.只有将所学的知识融会贯通,敢于尝试,敢于思考,才会在此基础上提高思维能力.