一道几何题的多种

更新时间:2023-12-18 作者:用户投稿原创标记本站原创 点赞:4211 浏览:15466

问题[1]:在△ABC中,∠B等于2∠A,则AC等于BC+AB·BC.

经过多方面的思考,我们得出以下解法:

证明一:如图1,在△ABC中,∠B等于2∠A.

图1

由正弦定理得:等于

∴2BC·cosA等于AC

∴cosA等于

又∵余弦定理:cosA等于

AC(AB-BC)等于BC·(AB-BC)(AB+BC)

当BC≠AB时,AC等于BC+BC·AB;

当BC等于AB时,此时△ABC为等腰直角三角形,等式依然成立.

证明二:如图2,作∠ABC的角平分线交AC于点D.


图2

∴∠ABD等于∠DBC等于∠A

∵∠BDC等于∠ABD+∠A等于∠ABC

∴△BDC≈△ABC

∴等于等于

即有:BC等于DC·AC①

BC·AB等于BD·AC②

∵AD等于BD

∴①+②等于AC等于BC+AB·BC

证明三:如图3,利用三角形面积公式可得:

图3

S等于×BC·AB·sinB①

S等于×AB·AC·sinA②

由①等于②得:cosA等于③

cosA等于④

由③等于④得:AC(AB-BC)等于BC·(AB-BC)(AB+BC)

当BC≠AB时,AC等于BC+BC·AB;

当BC等于AB时,此时△ABC为等腰直角三角形,等式依然成立.

证明四:如图4,以△ABC的AB边为X轴,过点C并且垂直于AB为Y轴.

图4

设A点坐标为(x,0),则C点坐标为(0,xtanA),B点坐标为(x-,0),为(-,0),为(-x,xtanA),

∴cosA等于等于

化简得:AC(AB-BC)等于BC·(AB-BC)(AB+BC)

当BC≠AB时,AC等于BC+BC·AB;

当BC≠AB时,此时△ABC为等腰直角三角形,等式依然成立.

在做一道题的时候,可以从多个方面入手进行思考、解答,不局限于一种思维模式.只有将所学的知识融会贯通,敢于尝试,敢于思考,才会在此基础上提高思维能力.