本站原创摘 要： 一阶常微分方程的解法多种多样,本文通过三个例子说明这些解法在具体方程求解中的运用.
关 键 词 ： 一阶常微分方程 线性微分方程 分项组合法 积分因子
常微分方程是大学数学专业的一门重要基础课程.常微分方程课程的学习不仅可以巩固数学分析、高等代数课程的学习,而且为后续课程如泛函分析、偏微分方程和微分几何的学习打下基础.常微分方程还在工程技术领域发挥重要的作用,常微分方程理论可以解决和分析实际科学领域众多的数学模型.因此,学好常微分方程显得至关重要.
常微分方程理论包括求解理论、定性分析、稳定性分析、分支理论和混沌等,其中求解理论是大学常微分方程课程学习的一个重点内容,包括了一阶常微分方程、高阶线性常微分方程和一阶线性微分方程组的解法.特别地,一阶常微分方程的解法又是多种多样的,包含变量分离方法、变量变换法、线性微分方程的通解公式法、分项组合法和积分因子法等.本文就通过下面几个具体例子的分析求解,说明一阶常微分方程解法的多样性.
一阶常微分方程的解法是多种多样的,我们在具体问题的求解时要将所求方程与相应的方法对应起来,正确地解决问题.具体地说,在方程未知函数的导数已解出的情形下,常常是根据所给方程的特点,设法做适当变换,将其化为可分离变量的方程或其他易于求解的类型；在解以微分形式出现的一阶常微分方程时,应考虑用分项组合法和积分因子法求解.此外,对于同一个方程,可能有不同的解法,我们要注意比较哪种解法更简单,而这都需要仔细的观察及大量的练习,这对于学好常微分方程这门课程非常重要.