一、试题呈现
设P是△ABC内的一点,直线AP、BP、CP与△ABC的外接圆Γ的另一个交点分别为K、L、M,圆Γ在点C处的切线与直线AB交于点S.若SC等于SP,证明:MK等于ML[1].(第51届IMO)
证明:如下图,设AC>BC,由切割线定理知SC2等于SP2等于SBSA,就有△APS∽△PBS,△ACS∽△CBS,
于是BC1AC等于BP1AP①
由相交弦定理知ML1BC等于PM1PB②,AC1MK等于PA1PM③,
②×③得MLAC1MKBC等于PA1PB④,
①×④得ML1MK等于1,故MK等于ML.
二、题目条件减弱
设P是△ABC的外接圆内的一点,直线AP、BP、CP与△ABC的外接圆Γ的另一个交点分别为K、L、M,圆Γ在点C处的切线与直线AB交于点S.若SC等于SP,证明:MK等于ML.(证明同上,故从略.)
三、逆命题也成立
设P(除圆心)是△ABC的外接圆内的一点,直线AP、BP、CP与△ABC的外接圆Γ的另一个交点分别为K、L、M,圆Γ在点C处的切线与直线AB交于点S.若MK等于ML,证明:SC等于SP.
证明(同一法):设AC>BC,△ABP的外接圆Ω在P点的切线交直线AB于S′,由切割线定理注意到:
△CBS∽△ACS,△PBS′∽△APS′
有SB1SC等于SC1SA等于CB1CA①,
S′B1S′P等于S′P1S′A等于PB1PA②,
①②知SB1SA等于CB21CA2③,S′B1S′A等于PB21PA2④.
由相交弦定理注意到CB1PB等于ML1PM,CA1PA等于MK1PM,又ML等于MK,有CB1CA等于PB1PA⑤,由③④⑤知SB1SA等于S′B1S′A,于是就有SB1AB等于S′B1AB,故S和S′重合(由题设知S′与A处于B的异侧).综上①②⑤知SC等于SP.