有关焦半径圆锥曲线问题的极坐标解法

【摘 要 】在极坐标系下,解决圆锥曲线问题往往以其焦点为极点建立极坐标系,其极坐标方程适用于椭圆、双曲线、抛物线.由此本文将以涉及焦半径的三大圆锥曲线问题为主要载体突出体现极坐标方法相对于传统方法在处理圆锥曲线问题中的优越性、普遍性.

【关 键 词 】极坐标方程；椭圆；双曲线；抛物线；焦半径

在高中数学中,我们知道椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数e的点的轨迹.当01时是双曲线,e等于1时是抛物线.这时称定点为焦点,定直线为准线,常数e称为离心率.

首先检测设一定点F的位置位于定直线l的右侧（如图1）,过点F作准线l的垂线,垂足为K,以焦点FK的反向延长线Fx为极轴,建立极坐标系.

设M（ρ,θ）是曲线上任意一点,连接MF,并

作MA⊥l,MB⊥l,MB⊥Fx,垂足分别为A,B.

以上分别采用直角坐标方法和极坐标方法分别求解了有关抛物线的问题.对比以上两种方法可以看出直角坐标方法求解需要引进的字母更多,运算量也更大,所以极坐标方法求解可以减少演算步骤,更加快捷巧妙.

极坐标方法不仅仅在抛物线中有着巧妙的应用,其实由于极坐标方程适用于三大圆锥曲线,那么在椭圆及双曲线中都有非常广泛的应用.

各种类型的圆锥曲线都可以利用建立极坐标系的方法得以求解,并且解题过程都比较类似,是处理圆锥曲线问题的一种难能可贵的通法.相对于在直角坐标系中处理相同的问题,极坐标方法更加巧妙、快捷,在高中数学中独树一帜.同时极坐标方程是由统一的圆锥曲线定义推导出来的,充分体现圆锥曲线的统一美、和谐美,在研究圆锥曲线共同性质上有得天独厚的优越感.

当然极坐标方法在处理圆锥曲线问题上也有局限性.在用极坐标系处理圆锥曲线问题中常常以焦点为极点,所以极坐标方法主要适用于涉及焦半径或焦点弦的问题.

【参考文献】

[1]汪良材,蔡永芳,吴在秩.平面解析几何解题思路与范例分析.福建人民出版社,1980.

[2]翟连林.平面解析几何双基训练.中国农业机械出版社,1982.

[3]李秀英.圆锥曲线统一极坐标方程的补充解释.教学与管理,1996：58.