一个收敛到Euler常数的超越数数列

【摘 要 】 本文给出了一个收敛到Euler常数 的超越数数列,还给出一个用调和级数片段和计算Euler常数 近似值的公式.

【关 键 词 】 收敛数列 Euler常数 超越数 调和级数 片段和

根据微积分知识,我们知道,Euler常数γ等于0.5772156649等,但至今人们不知道γ是否是无理数. Euler常数γ与调和级数Σ ∞ k等于1 1 k 的部分和紧密联系.作者在文献[1]中证明了γ有如下的定义式（e表示自然对数的底 ,符号 表示不超过x的最大整数）

γ等于 lim →∞ （1+ 1 2 + 1 3 +等 1 [ek]-1 -k）

等于1+ 1 2 + 1 3 +等 1 [ek]-1 -k+ θk [ek] ,等等等（1）

其中k∈N+,0<θk<2.

在本文中,作者给出 的另一个定义式,从这个定义式中可得到这样的结论,即可以用一个超越数数列收敛到Euler常数γ.

考虑调和级数Σ ∞ k等于1 1 k 的分段和. 当m≤n时,我们引入记号

H（m,n）等于Σ ∞ k等于1 1 k ,

这样利用微积分知识,易得

γ等于 H（1,n-1）-lnn+ θn n ,其中 1 2 <θn<1

又检测设对于k∈N+,rk满足

H（1,rk-2）

那么我们有

0

以及

k 等于 H（1, rk-2）+ θk rk-1 ,0<θk<1

所以我们得到如下Euler常数γ的一个定义式

γ等于H（1, rk-1）-lnrk+ θk rk

等于k-lnrk+ θ2 rk-1 + θ1 rk , 1 2 <θ1<1,

等于 k-lnrk+ θ3 rk-1 , 1 2 <θ3<2, ………（3）

根据文献[2],当rk是大于1的整数时, lnrk是超越数,并且由上述推理过程可知, 当rk满足（2）式时, 的整数部分等于k-1,小数部分与γ的和近似等于1（当→∞时）.也就是说,有

γ等于1-{lnrk}+ θ3 rk-1 1 2 <θ3<2,

其中{lnrk}表示lnrk的小数部分

这样我们得到一个超越数数列{ak},其通项是ak等于1-{lnrk},k等于1,2,3,等,这个数列收敛到Euler常数γ.

另外,结合（1）和（3）两式,我们还可得到用调和级数Σ ∞ k等于1 1 k 的片段和计算Euler常数γ的近似值的公式,即有如下等式

γ等于 lim →∞ （ 1 rk + 1 rk+1 + 1 rk+2 +等 1 [ek]-1 ,

等于 1 rk + 1 rk+1 + 1 rk+2 +等 1 [ek]-1 + θk rk-1 ,等等（4）

其中rk满足（2）式,0<θ<2 .

用初等数论知识可以得到一个结论,就是（1）和（4）两式中的主项化为小数后都是混循环小数,并且当→∞时,不循环的位数uk→∞.限于篇幅,证明从略.

猜想 Euler常数γ是一个无理数,也是一个超越数.