高阶导数的求法

摘 要：本文主要通过一些典型例题从四个方面探讨了高阶导数的求法.包括：根据高阶导数定义求之、利用高阶导数公式求之、使用莱布尼兹公式求之、用复合函数求导法则求之等.

关 键 词 ：函数；高阶导数；阶导数；

中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1674-3520（2014）-07-00-02

定义：函数 的导数 仍是x的导数,则称的导数为的二阶导数.一般地,如果 的 阶导数仍可导,则称 阶导数的导数为 的n阶导数,记为 .二阶或二阶以上的导数统称为高阶导数.下面笔者就高阶导数的求法做一探讨.

一、根据高阶导数定义求之

根据高阶导数定义可知,求高阶导数只需运用求导公式、求导法则等求导方法逐步求导即可.对于n阶导数,可先求出函数的前几阶导数后,分析结果的规律性,从中找出规律,归纳出阶导数.

例1：设函数 ,求 .

解：,, ,

由此,得：

例2：设,求.

解：因

所以 .

二、利用高阶导数公式求之

高阶导数常用公式如下： , ,

常把求高阶导数的函数化为适合应用上述公式的函数或其代数和,然后利用公式求之.在求有理分式函数的阶导数时,一般先把有理函数化为多项式与最简分式之和,然后再利用公式分项求其阶导数.在求某些三角函数的阶导数时,也需要用三角函数恒等式及有关公式先把它化为

,之和或差的形式,然后再利用公式求其阶导数.

例3：求下列函数的n阶导数的一般表示式.

三、使用莱布尼兹公式求之

莱布尼兹公式：设 阶可导,则 当所求导数的函数是两个函数的乘积时,宜用莱布尼兹公式求之.特别地,当其中一个因子为次数较低的多项式函数时,由于阶数高于该次数的导数均为零,因而求导结果比较简单,故常用此式求以多项式为因子的函数乘积的高阶导数、指定阶的导数、指定阶的导数在指定点的值.另外,当两个因子函数中,其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时,也常用莱布尼兹公式求其高阶导数.

四、用复合函数求导法则求之

定理：设函数 在点x处可导,函数 在对应点 处可导,则复合函数 在点处仍可导,且有 ,或记为

.复合函数求导法则也可推广到多次复合的情形.在求导时,应从外层向内层逐层求导,一直求到对自变量求导数为止.若

存在单值反函数 ,常用复合函数求导法则,求其反函数 的高阶导数 .