摘 要: 本文对级数的敛散性通过实例进行了分析,并给出了一般性的结论.
关 键 词 : 级数, 敛散性, 判别
中图分类号: O173文献标识码: A文章编号: 1009-8631(2010)03-0149-01
经济学基础(第一分册微积分)在无穷级数这一章中多次出现要判别这类级数的敛散性.学生对此类题目总是感觉到束手无策,不知道用哪种方法判别.用比较判别法不知道是将通项放大呢,还是缩小呢用比较判别法的极限形式不知道选择什么样的级数作为比较对象.用达朗贝尔比值判别法失效无法判别,这是一个比较简单的正项级数.下面我们通过例题来进行讨论.
例1.判别级数的敛散性
方法一 用比较判别法的极限形式
选择可比较级数因为等于1nn等于+∞
由于发散 所以发散
方法二 用比较判别法
因为1nn>1 (n≥3) 所以< (n≥3)
由于发散所以发散 (n≥3)
发散级数加上有限项仍然发散,于是发散.
方法三用达朗贝尔比值判别法
L等于 等于等于1
此方法失效,无法判别出该级数的敛散性.
例2 判定级数的敛散性
方法一 用比较判别法的极限形式
首先,选择一个已知敛散性的级数作为比较对象,观察级数通项.不妨选择级数
因为等于1nn等于+∞
极限为正无穷大,分母级数收敛.不能确定分子级数的敛散性.极限为正无穷大,说明选择对象作为分母太小了,需要放大一些.进一步选择比较对象,使比较的对象要略大于.不妨选择.
因为 等于等于0.
极限为零,分母级数发散,仍然不能确定的敛散性.说明分母选择太大了一点,失去了控制.再进一步选择比较对象,使比较对象要介于与两者之间.由于<<.所以,不妨选择比较对象为,用比较判别法的极限形式=?1nn==0.由于分母级数收敛.所以,确定分子级数收敛.
方法二用比较判别法
由于1nn< 所以<=
由于收敛所以收敛
通过上面两个例子,可给出一般性的结论:
对级数,当p≤1时,发散,当p>1时,收敛.
证:当p>1时,由于1nn
当p-α>1,即p>1+α 也即p>1时,收敛,
所以收敛.
当0由于发散,所以发散,也就是发散.
当p≤0时,由于≠0,所以,发散.证毕.
但要注意,另类级数1n,()1/31n,与该类级数有所不同,判别敛散性时不可乱用.