矩阵同时上三角化和同时对角化

更新时间:2024-02-20 作者:用户投稿原创标记本站原创 点赞:6029 浏览:21217

摘 要 :本文介绍了两个矩阵同时上三角化和同时对角化的特殊例子.

关键字:矩阵,同时对角化,同时上三角化

在高等代数中,我们经常见到单个矩阵的对角化和上三角化.对于两个矩阵同时上三角化和对角化却很陌生,本文给出了几种特殊的例子,以方便大学生对高等代数的学习.

定理一 若两个阶复方阵可交换,则二者可同时上三角化.

证明

利用数学归纳法.

时,结论显然成立.

检测设当时结论成立,则考虑时,因二者可交换,则必存在公共向量

将扩充为的一组基

令,则

.

由可交换不难看出可交换.

根据归纳检测设存在阶可逆矩阵使得,,均为上三角阵.那么取即可,就可得出同时上三角化.

推广 阶可交换矩阵族可同时上三角化的问题

方法与1类似,先证明这族矩阵存在公共特征向量.证明时,可将这族矩阵看成有限个,因为我们将这些矩阵看做某一线性空间中的线性变换矩阵,而的维数有限,再后面用归纳证明上三角化即可.

定理二 在上定理条件下,若均可对角化,则二者可同时对角化.


证明

设的个互异的特征值,其重数分别为,则存在可逆矩阵,使

.

显然亦可交换,从而

此处之所以可以知道的形式,我们是通过将做与同型的分块,继而利 用结论;对于矩阵方程,若无公共特征值,则只有零解.因可对角化,则可对角化,即存在可逆矩阵,使得为对角阵,则取

即可.

引理 一个矩阵幂零的充要条件为.()

证明

必要性显然.下证充分性.

设的个特征值为,令

.

由牛顿公式(为初等对称多项式)

从而.因此,的特征多项式为

所以的特征值全为零;从而幂零.

定理三 设阶复方阵满足,则可同时上三角化.

证明

令,则

.

若,则可交换,因此,可同时上三角化,进而可同时上三角化.

若,

从而幂零,这样,任取,,则

从而也是的不变子空间,将二者限制在上,则必有公共特征向量,再用归纳法不难证明可同时上三角化,进而可同时上三角化.

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