数列极限的求法

【摘 要】数列的极限是高等数学的一个基本概念,是由初等数学向高等数学过渡的关键内容,它是数学由具体到抽象、由有限到无限的桥梁,是微分学的基础.高等数学中极限概念是一个难于理解而不易掌握的一个概念,其对后续课程的学习有重要的影响.数列极限的求法很多,本文从定义、定理及相关的知识领域,加以总结整理,具体问题灵活使用.

【关 键 词 】数列极限 高等数学 极限求法

(一)利用定义

设{}是一个数列,是一个确定的数,若对任何的正数ε,总存在一个自然数,使得时,都有

则称数列{}收敛于,称为它的极限并记作,或记作（）

例1 证明,这里为正常数.

证 由于

所以对于任给的正数,只要取,则当时,便有＜,因此

例2 证明,其中＞1.

证 令,则,仍由伯努利不等式可推得

或

现任给正数,当时,就有

即

(二)利用迫敛性定理求极限

定理 设若存在某自然数

则

例1 求数列}的极限

解 当时时,记,则有

或

于是有

因收敛于0

于是左右两端的极限都是1

故}的极限是1

(三)利用有界的单调数列求极限

定理 有界的单调数列都有极限

例1 证明数列

单调有界,并求其极限

证令,显然数列单调递增,用数学归纳法证明有界

因,检测设,则有

即数列是有界的,故数列有极限,记为,由于

利用四则运算得

解得(-1舍去)

所以

(四)利用函数及归结原则求极限

对于一个数列,如果存在一个相关联的的函数（n与实数x相关联）,可以利用函数的极限及数学中的归结原则来判断及求数列的极限.

(五)利用级数收敛的必要条件求数列极限

（级数收敛的必要条件是通项极限等于0）

利用比式判别法

等于等于0<1

故

(六)用定积分求数列极限

极限是数学分析的一个重要概念,若有数列是某个可积函数特殊的一列积分和,那么计算此数列的极限可以转化为计算定积分,这是计算这类数列极限的一个简便、有效方法.

例

（1）式是函数f(x)等于在区间［0,1］上的一个积分和,它是把［0,1］分成n等份,

取[]的左端点即（）构成的积分和,由定积分定义可得

（七）用数列 的四则运算及重要极限求极限

利用已知或简单易求的数列极限,通过四则运算求一些复杂数列的极限,是一种常用的方法.

等于3·1等于3

（八）利用stolz定理及推论求数列极限

Stolz定理 设有两个数列,满足