本站原创【摘 要 】磁共振成像技术（MRI）是一种方便快捷的医学诊断技术,本文对稀疏表示在MRI领域的应用研究进行了介绍.先介绍了稀疏表示的基本原理及解稀疏系数的一个匹配追踪算法.然后阐述了在MRI重构中两种主要的构造稀疏字典的方式：解析字典和训练字典,并分别介绍了这两种构造稀疏字典方式的MRI重构模型.
【关 键 词 】稀疏表示；MRI；图像处理
1.引言
磁共振成像技术（Magic Resonance Imaging,MRI）是一种利用图像进行医疗诊断的检查技术.它没有电离辐射伤害,能够直接扫描出器官各个体层的图像,避免了开颅、开胸、开腹探查等手术.MRI技术可以给医生带来清晰实用的人体内部结构图像,在临床检查上得到普遍的应用.但是MRI有一个缺点,它的成像过程太过漫长,一次成像过程要10分钟到30分钟.因此如何快速地获取MRI图像就成为一个热点问题,而压缩感知[1]和稀疏表示理论在MRI上的应用使得在不改变现有MRI系统硬件的条件下减少成像时间成为可能.
2007年Lustig和Donoho等人发表了Sparse-MRI[2],首次将压缩感知理论应用到MRI中.在SparseMRI方法中作者应用了MR图像在小波域的稀疏性,对下采样的K空间数据进行重建,取得较好的重建效果.此后MR图像的不同稀疏特性不断被挖掘,MRI重构的效果得到很大的提升.
2.稀疏表示理论
令信号,稀疏字典,稀疏系数.则信号可以表示为,其中是字典原子.是信号在字典域的稀疏系数,如果仅有K个非零项,或者中仅有K个大系数,其它都是接近0的小系数,则我们称是稀疏度为K.由于实际中K等于N,所以我们只要记住这K个项的位置及值我们就可以精确重构信号x.稀疏度K越小,则系数越稀疏,重构信号x所需要保存的数据量就越少.字典D可以是解析字典,例如DCT基底、小波基底,也可以是自适应训练字典或随机字典.如图1是一维信号稀疏表示的示意图,白的方格表示0,不同的灰度表示不同的值.
图1 一维信号在高斯随机字典投影下的2稀疏表示
实际应用中我们通常是观测到有噪声的信号x,为了恢复原始信号我们建立如下的目标函数：
（1）
但是这个目标函数的求解是NP难问题,目前解该问题的方法主要有两种：
一种是贪婪算法,如匹配追踪（MP）[3]、正交匹配追踪（OMP）算法[4]；一种是松弛算法,比如基追踪算法（BP）[5].
匹配追踪算法（Matching Pursuit,MP）是一种贪婪迭代算法,其基本思想在每一次的迭代过程中,从过完备原子库里选择与残差信号最匹配的原子来进行信号表达,同时从残差信号中剔除其投影,获得新的残差信号.当迭代次数达到设定值,或者重构残差小于设定阈值时,迭代停止.其算法流程如下：
输入：字典D,观测信号x,稀疏度L
输出：的L稀疏逼近%
初始化：残差r0等于x,索引集,迭代次数t等于1；
循环执行步骤1-5
步骤1：找出残差r0与字典D中最相似列dk的角标,所谓最相似,即：
步骤2：更新索引集,纪录找到的重建信号字典原子集合（也称为支撑集）Dt等于[Dt-1,d]
步骤3：由最小二乘算法得到t%等于argmin ||x-Dtt%||2
步骤4：更新残差rt等于y-Dtt%,t等于t+1
步骤5：判断迭代次数是否满足,若满足则停止迭代,否则继续执行步骤1.
由于MP算法中信号在已选定的原子上的投影并非正交的,MP算法每一次迭代结果有可能是次优,为获得收敛需要经过较多次的迭代.
3.稀疏表示在MRI领域的应用
信号的稀疏性是压缩感知理论的一个重要前提,在压缩感知MRI系统的设计中稀疏表示问题可以归结为稀疏字典的设计[6].我们可以从不同的角度,对不同的字典进行分类,因此基于稀疏表示的MRI重构问题也会有不同的重构模型.例如我们可以把字典分为解析字典和训练字典两大类：一是解析字典,解析字典是由具有明确的数学理论推导直接产生的基底的集合,常用的如DCT基底组成的DCT字典以及小波基底组成的小波字典.二是训练字典,训练字典是根据实际数据自适应的学习字典,这种字典在实际中已经证明了可以对信号有更好的稀疏表示,但是自适应训练的字典耗时较长,应用没有解析字典方便.
当我们采用解析字典对下采样的MRI数据进行重构时,重构模型可以写成：
（2）
其中D是稀疏表示字典,在参考文献[2]中采用小波基组成字典D.y是部分K空间数据,即下采样后的K空间数据.Fu表示部分傅里叶变换,x是我们要重构的MR图像.对x进行小波变换后的系数满足稀疏条件,解这个目标函数就可以得到精确重构的MR图像.在文献[2]中,作者采用非线性共轭梯度下降算法解这个目标函数.
当采用自适应训练学习稀疏字典时,一般是对图像块进行训练得到字典,影响较大的有KSVD[7]训练模型,基于自适应字典学习的MRI重构模型可以写为：
（3）
其中Ri是取图像块操作,是MR图像x在字典域的稀疏系数.这种采用自适应训练学习稀疏字典的MRI重构方法影响较大的有文献[8].在文献[8]中,作者把这个约束函数分成两个子问题：字典训练问题和最小二乘问题.字典训练子问题可以写成为：
（4）
解这个子问题的时候先固定x,对上一次的重构的x进行字典训练,字典训练过程和文献[7]KSVD算法的过程一样,利用迭代训练字典D.最小二乘子问题目标函数可以写成：
（5）
在这个子问题中利用字典训练子问题训练出来的字典D和稀疏系数,更新MR图像x.由于这个子问题是一个非约束的2范数形式,所以可以用最小二乘来解这个问题.图2是文献[2]和文献[8]在10%随机下采样时的重构结果.文献[2]重构结果PSNR值为29.55dB,文献[8]的重构PSNR值为39.67dB.从PSNR值上来看,文献[8]的重建结果比文献[2]有了较大的提高,这说明了自适应训练的字典在对MR图像的稀疏表示上有着比解析字典更好的效果. 图2 脑部图像10%随机下采样的重构结果
4.总结与展望
稀疏表示理论挖掘信号的稀疏特性,利用MR图像稀疏性构建目标函数重构MR图像,在降低K空间数据采样率的同时不降低MR图像品质,大大降低了MRI成像过程的时间.本文介绍了两种主要的基于稀疏表示的MRI重构的模型,同时越来越多的人对于低秩矩阵的特性与稀疏性的联系进行了研究,相信这些研究会进一步的推动稀疏表示在MRI重构领域的应用.