区间数模糊投资组合模型其

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中图分类号:F830 文献标识:A 文章编号:1009-4202(2011)09-000-03

摘 要 在Markowitz投资组合模型中考虑流动性约束,用区间数描述证的期望收益率、风险损失率和换手率,建立考虑流动性约束的区间数模糊投资组合模型,利用区间规划的有关结论,将问题转化为参数线性规划问题求解,深入剖析了流动性约束及其他模型参数对投资决策的影响.

关 键 词投资组合选择 区间数 模糊线性规划 区间规划

投资组合选择就是如何配置各种有价证券的头寸来最好地符合投资者对风险和收益的权衡.证券市场是一个极其复杂的系统, 证券的收益和风险都是不确定的, 这就使得投资者需要在一个不确定的环境下做出投资决策.1952年, Markowitz 建立了均值方差投资组合模型[1], 标志着现代证券组合投资理论的开始.

考虑到在证券市场中, 投资者对投资风险和收益水平往往有主观的意愿, 且未来的收益率是随时变化的, 过去的收益率和风险只能作为未来收益率和风险的参考, 预期收益率和风险的变化具有模糊性, 将证券组合投资的收益和风险以区间数描述, 则证券组合投资模型就转化为区间规划问题.已有许多学者对区间规划[2,3]和利用区间数理论对投资组合选择问题[4-7]进行了研究,取得了很多研究成果.Wang和Zeng等(2001)扩展Markowitz 模型为区间规划模型[4];陈国华等(2007)利用模糊约束将Markowitz投资组合模型转化为模糊线性规划模型,用区间数来描述证券的期望收益率和风险损失率,建立了区间数模糊证券投资组合模型[6];陈国华等(2010)引进区间数描述证券未来的收益、流动性和β值,建立了基于区间数的投资组合模型[7].

本文在传统Markowitz投资组合模型中考虑流动性约束,用区间数描述证的期望收益率、风险损失率和换手率,建立了新的考虑流动性约束的区间数模糊投资组合模型并对模型进行了分析.

一、考虑流动性约束的区间数模糊投资组合模型的建立

正如Markowitz投资组合理论,在证投资决策理论中,投资收益和投资风险通常被认为是投资者所关心的两个主要因素.然而,在真正的投资实践中,证的流动性也不能忽视.证的流动性是指证的变现能力,目前度量证流动性的方法较多,如交易股数、交易笔数、交易金额、换手率和流通速度等.其中换手率是股票成交量(或成交额)与流通盘(流通市值)的比值,充分反映了股票的流动性.以 表示证组合, 表示第i种风险证的投资比例,表示第i种证的换手率,则投资组合的换手率为 .投资者通常会对组合投资的换手率提出一个可接受的下限 ,以确保组合投资的流动性,使得投资易于快速变现,保障资金安全.

如上考虑投资者对投资组合流动性的要求,则传统的Markowitz投资选择模型演变为

其中 表示第i种证持有期的收益率, 为第i种证持有期的预期收益, 为投资组合 的方差(用以衡量投资组合的风险). 表示第i种和第j种风险证的协方差, 表示第i种风险证的标准差, 为投资者能承担的风险的上限, 为投资第i种风险证的投资上限.

上述模型含有二次约束,给求解带来了困难.根据Elton和Gruber等人的研究[8,9],检测设不同股票相关系数相同, .此时期望收益的方差可表为:

上式中右边最后一项的第二部分为非系统风险,根据Sharpe等的实证研究[10],证组合的非系统风险与系统风险相比是非常小的,尤其当证组合的股票足够多,可利用模糊约束简化方差约束, ,即 .这里 是模糊小于,其模糊不等式的隶属函数为

为投资人的容忍度.

根据模糊不等式 的隶属函数并利用相关结论,组合证的风险约束可表为 , 是投资者的模糊隶属度, 值从0到1逐渐变化.于是模型(P1)演化为

由于证未来的收益、流动性、风险证的标准方差是不确定的,其变化具有模糊性,可以看做一个模糊现象处理.本文用区间数表示模糊性,记 , , ,将问题 参数模糊化,从而建立起考虑流动性的区间数模糊投资组合模型:

, 是投资者给定的常数, 代表投资者的悲观风险承受水平, 代表投资者的乐观风险承受水平, 代表投资者的悲观流动性接受水平,代表投资者的乐观流动性接受水平.

模型 目标函数的区间数代表投资组合的不确定收益,约束条件(1)左边用证标准差的区间数代表投资组合的不确定风险,右边代表投资者的风险承受区间,约束条件(2)左边区间数表示证资产流动性的不确定性,右边表示证流动性的可接受区间.因而,模型 是一个在不确定风险及不确定流动性约束条件下,最大化不确定收益的区间规划问题.其中不确定性用区间数来描述.由于约束条件引入区间序关系,上述问题不可能存在经典意义下的最优解. 是一个带有区间系数的最优化问题.

当不考虑流动性约束时, 退化为陈国华等(2007)考虑的区间数模糊投资模型.

二、考虑流动性的区间模糊投资组合模型的求解

记区间数 为 .其中 为A的中点,称为A的位置系数,反映了A的大小. 为A的半宽,称为A的柔性系数,反映了A表示信息的不确定程度.令 .

定义1[5]称为 的满意度.

引理[5] 在 满意度水平下, 可以转化为确定性约束

定义2[3]称为目标函数 的线性规划的目标区间的 水平解.

引用上述定义和引理,在给定目标区间的优化水平 及区间不等式约束的满意度 时,可以通过求解等价问题获得解决.

上述问题是常见的带参数的线性规划问题,容易获得解决.当 时,问题 的目标函数 ,以区间数中点,也即区间数的位置系数衡量目标大小,将模糊目标清晰化.

三、模型分析

下面给出一个数值算例对模型进行分析.资料主要取自参考文献[6],详见表1-3.

(一)关于投资决策中的流动性问题

如前所述,不考虑流动性约束时,模型 退化为文献[6]的情形,比较不考虑流动性的投资选择模型(表4)和考虑流动性的投资选择模型(表5、表6),可以得出如下一些结论:

1.给定证的预期收益率区间和风险损失率区间,是否考虑风险证的换手率,也即是流动性,对最优投资组合有显著影响,对最优目标函数值也有较大影响.如不考虑流动性约束,当 等于0.7, 等于0.7时,最优投资组合为(0.3019 0 0 0 0.2981 0 0 0 0.4000),最优目标函数值为0.0147;考虑流动性约束,当 时,最优投资组合为(0 0.4000 0.0659 0 0 0.4000 0 0.0171 0.1170),最优目标函数值为0.0100.

2.从表5和表6可以看出,在考虑流动性时,给定风险证的换手率区间,投资者不同的流动性接受水平对最有投资组合有显著影响,对最优目标函数值也有较大影响.如 等于0.8, 等于0.8时,当 时,最有投资组合为(0 0.0003 0 0 0 0.4000 0 0.2111 0.3885),最优目标函数值为0.0152;当 时,最有投资组合为(0 0.3690 0.2026 0 0 0.4000 0 0 0.0283),最优目标函数值为0.0094.

(二)不同 水平对投资决策的影响

给定其它参数,可以看出,不同的 水平( 水平越高,反映了投资者对预期收益率的乐观程度)不影响投资者的最有投资组合,仅只影响最优目标函数值的大小, 水平越高,最优目标函数值越大.


(三)不同 水平对投资决策的影响

不同的 水平反映了投资者对证风险(用标准差表述)和流动性(用换手率描述)约束的满意度. 越大,表示投资者对投资中选择的证的风险和流动性要求越高,对证投资的安全性要求越高,势必会影响投资组合选择和最优目标函数值.从表8可以看出,不同的 水平,对最有投资组合有显著影响.随着 的增加,当模型的解存在时,最优投资组合发生变化,最优目标函数值变小,投资者的预期收益变小.

四、结语

用区间数表示期望收益、风险和流动性的不确定性,论文建立了考虑流动性约束的区间数模糊投资组合模型,将模型转化为带参数的线性规划问题求解,深入剖析了流动性约束及其他模型参数对投资决策的影响,得出了一些很有意义的结论,对投资决策实践具有重要的指导意义.