本站原创【摘 要】首先利用采样定理论述传播的波必须是一段信号,而不是1个点信号.用邻近点的位移关系,约束波不向两侧传播,以及得出波向前传播,而不是向后传播.把波遇到窄缝的过程分为散射、衍射和底根三个部分,当缝特别宽时,只有底根和散射过程,处于两侧向外传播的波,受到内侧波的约束,散射能量较少.当缝较窄时,出现衍射,这是由于散射点相遇而形成能量比散射强的波的结果.
【关 键 词 】惠更斯原理；波；采样定理；向前传播；相位
0 引言
波是向前传播的,这是事实,但是过去没有人进行过论证[1-2],为了解决这个问题,菲涅耳进行了人为地校正,规定了波只能向前传播,而不是向后传播.但这不是数学的严谨证明,而是人为设定,下文进行严谨的关于波向前传播的论证和衍射原理推测.
1.波传播是一段信号
波传播的介质是均匀时,同一类型波的波速点点相等.设简谐波的模型为y等于Asin（ωt+φ）.
式中A——振幅,ω——园频率,φ0——初相位,t——时间,y——离开平衡位置的位移；其它名词λ——波长,T——周期,f——频率,相位为φ等于ω（t-）+φ0,则ω等于2πf,λ等于v/f.A、ω、φ为简谐波的基本元素,如果这3个元素具有了,简谐波就存在了.
设波函数为：y等于Asin[ω（t-）+φ0]（1）
上式中,v——波速,x——沿波线的位移,其余字符意义与上同.因为分析波总以位置变量或时间变量的一个变量进行观测和研究,模型又恢复到简谐波的模型上了.只考虑时间变量时,设△t为时间采样间隔,tk等于k△t,k∈J,对应的y也进行离散,离散后的简谐波的模型变为yk等于Asin（ωk△t+φ）.只讨论位移变量时,把位移进行离散化,设△x为空间采样间隔,xl等于l△x,l∈J,对应的y也进行离散,离散后的波函数模型变为yl等于Asin（-ω+φ）.按照采样定理【3～5】,一个周期内,采2个点以上,且总样点数至少3个,才可以确定波.即△t<,k和l至少连续3个自然数.
所以,只有持续一段时间（大于2△t的时间,△t<）的波,或者持续一段距离（大于2△x距离,△x<）的波,且离散后至少连续3个点采样,才具备波传播的必要条件.
2 波向前传播
2.1 波的叠加
对于独立的两列波叠加,在叠加段位移是两列波的位移之和,分开后独立传播.但有个前提条件,必须是波传播叠加,不是波时,不具备这个性质.什么是波呢?上文提到具备初相位、振幅和固定频率是波的充分必要条件,对于样点来讲必须3点以上才可以是波传播的必要条件.对于某一时刻和某一位置的质点,没成波时,不会钻到波里面,而是和邻近的位移点一起振动传播.而波前的特点是本身振动的一个质点,无限的靠近y等于0点,但又不是y等于0点.
2.2 临近两点位移顶点形成的迹线
对于一束平行波,分析处于中间位置的波线,见图2.邻近两点的位移顶点形成的轨迹是连续的,称为位移轨迹的连续性,这个邻近的两点指的是lim△x等于x2-x1→0.垂直于波线时,任何位置相邻位移y是相等的,求空间位移的变化率,即等于0
在离开被研究点的位置时,结果是一样的.显然这两点的位移是不会构成波的,因为波的导数,依旧是个波函数.即一束波传播过程中,处于中间位置的波不会向两侧传播.
现在已知波是一段波OH,是从左向右传播的,来研究I′点的传播情况.当位移忽略时,波变成原地不动的振动,根据1的论述,必须是持续一段时间,见图2.而波提供能量,如果只一次,则这点是不会产生波的.以同频率、相位和振幅提供给H点一段时间,H点才会具有波的振动能力,H点的频率、相位和振幅与给能量的频率、相位和振幅与给能量是一致的,所以H点是向前传播的,即波是向前传播的.
3.波叠加能量最大时的频率和相位的关系
3.1 初相位约定
初相位的概念是当在原点,即x等于0和t等于0的相位值φ0,这个角度没有明确的范围,计算起来非常不方便.作为波函数,可以用正弦波或余弦波表示,其周期为2π,这样为了计算方便,同时又不影响计算结果,这里的初相位约定在[0,2π）.
3.2 两个波叠加时,同频和同相能量最强
求两个简谐波在一点振动时的能量关系,
第一个简谐波模型为：
X1（t）等于A1sin（ω1t+φ1）,A1为最大振幅,ω1为园频率,φ1为对应的相位
第二个简谐波模型为：
X2（t）等于A2sin（ω2t+φ2）,A2为最大振幅,ω2为园频率,φ2为对应的相位
两个波的叠加关系为X（t）等于A1sin（ω1t+φ1）+A2sin（ω2t+φ2）
分析X（t）自功率谱,当X（t）自相关函数最大时,自功率谱也最大.Y（τ）等于[X（t）X（t+τ）△t]≤[X（t）X（t+τ）△t]（2）
（1）式子里,△t等于t-t,为最小样点间隔时间,即M,N两点的间隔时间,满足△t<,λ为波长,v为波速,n=,t代表k离散点对应的时间,n代表入射简谐波和合振动后产生的简谐波相遇的总时间除以离散时间的样点个数.为了求得相关函数的最大
X（t）X（t+τ）等于[A1sin（ω1t+φ1）+A2sin（ω2t+φ2）]·[A1sin（ω1t+ω1τ+φ1）+A2sin（ω2t+ω2τ+φ2）]等于Asin（ω1t+φ1）sin（ω1t+ω1τ+φ1）+A1A2sin（ω2t+φ2）sin（ω1t+ω1τ+φ1）+A1A2sin（ω1t+φ1）sin（ω2t+ω2τ+φ2）+Asin（ω2t+φ2）sin（ω2t+ω2τ+φ2）（3） 值,只需求具体的每一项最大即可.
（9）式,每一项的绝对值最大时,正值X（t）X（t+τ）才最大.A1、 A2是常量,对于具体一项变量的两式乘积,只有绝对值相等时,乘积值最大.同正号或同负号时乘积与绝对值一样的,即sin（ω1t+φ1）等于sin（ω1t+ω1τ+φ1）,其它（3）式里一系列式子都可以这样得出一系列的等式：
ω1t+φ1等于ω1t+ω1τ+φ1（4）
ω2t+φ2等于ω1t+ω1τ+φ1（5）
ω1t+φ1等于ω2t+ω2τ+φ2（6）
ω2t+φ2等于ω2t+ω2τ+φ2（7）
由（10）和（12）式都可以得τ等于0,并将它带入（11）式或（13）式,得（ω2-ω1）t+（φ2-φ1）等于0
由于t为变量,所以ω1等于ω2,φ1等于φ2.
τ等于0和上面的频率相同初相位相同,是计算自相关最大值的解.同理,同频同相叠加能量最强,表现为两种形式,第一种形式输出波的频率和源频率相同时输出能量最强,第二种形式传播的波和接收的波的频率和相位与源频率相同时接收得到的能量最强.共振表现为第二种形式,电磁波传播和接收两种形式都有.
4.相干分析
两源的情况：
以两个相同波源产生波相干为例,分析波的干涉,
设y1等于A1sin（ω1t+φ1）,y2等于A2sin（ω2t+φ2）是代表两个波源的简谐波函数,设叠加为0,且连续可导,取求和为0进行分析.
A1sin（ω1t+φ1）等于-A2sin（ω2t+φ2）（8）
对（8）式,关于t求导,得到
A1ω1cos（ω1t+φ1）等于-A2ω2cos（ω2t+φ2）（9）
-A1ωsin（ω1t+φ1）等于A2ωsin（ω2t+φ2）（10）
由（8）式和（10）式联立得ω1等于ω2（11）
由（8）、（9）和（11）联立得tan（ω1t+φ1）等于tan（ω2t+φ2）
进而得φ1等于kπ+φ2,k∈J（12）
按照初相位约定,φ1和φ2要么相等,要么差180°.按照（8）式,此种情况应是差180°.并得到A1等于A2（13）
对于满足频率、振幅相等以及初相位差180°的两个波源是很容易满足的.
当位移点落在两源的中线上,其和位移为0.除了这个条件外,和位移是0时,可解出一个具体的相位差,这个相位差不是恒定的.在这个条件下的某一点,其距两个波源的相位差2kπ+π,k∈J时,两个波源在此点的位移的绝对值是不等的,因为此点距两个波源的距离不同,振幅不等,和位移不就是0.当相位差为2kπ+π,k∈J时,所形成的点,因到两个波源的距离差恒定,是数学双曲线,但振幅不完全是0.就是实际的0点,都不在双曲线上.当A1和A2接近时,利用正弦波计算,相位差接近2kπ+π,k∈J,可达到和位移0,当A1和A2差比较大时,相位差距2kπ+π,k∈J较远,可达到和位移0,看图4.相干叠加位移为0点的曲线,远离波源时接近双曲线,近波源时则抖动厉害.
同理,可分析频率相同,相位也相同的情况,但无中线的0点.
5.散射、衍射和底根
5.1 推测散射、衍射和底根
图4 沿波线的波前点 图5 垂直波线的波前点1
先对平行波穿过缝进行分析,波过缝后的情况.这个分析也是位移为0时,正对着缝开始的.根据2的论述,此点是波前的点I′,是具有波源的性质,无线靠近0点,又不是0点,见图4.同时根据临近两点位移的性质,处在最边缘的波,不会向中间传播,也不会向后传播,可向外传播和向前传播,这样成四分之一弧状传播,见图5.接下来分析下一时刻的情况,同样设时间差为△t,波运行的空间差为△x.当边缘的波线向前传播能量减少以后,邻近的波线同样也具有四分之一的弧状传播,见图6.同时,后来传播的波压在外侧的波上,形成和振动,因为两者的相位不一样,根据前面的论述,起到互相抑制的作用,所以这种情况传播的能量非常少,本文称它为散射.由于波向前和向外侧传播的速度是一样的,所以这种情况的散射点是成 45°角向前的,见图7.图7是一列平行波,画出了5个波线,R1弧是A点产生的波前线,R2弧是B2点产生的波前线,R3弧是C2点产生的波前线.当左右两侧的散射点相遇后,情况就不一样了,形成中间高两侧低的同向振动,当这个空间非常小时,跟半弧状的波源波形是一样的,形成半弧状向前传播,能量强.这样对两侧波的约束也不存在了,以此逐步的能量强,出现了衍射.但不是脉冲宽度时,总是衍射后有剩余的残余能量,本文称为底根.这样衍射是由于以上三部分能量合成的结果.
5.2 推测定性的计算
从图7很容易可以看出,越往两侧,波场是越疏的,越往中间波场越密,这跟观测的结果是一致的.按照以上分析,无论是散射还是衍射,沿着AC2的产生圆弧的能量是相等的,那么可以进行这样计算,在波场的某一点,对于沿着AC2的连续源,同时总可以近似的表达为,相位是连续变化的,同时又不考虑到达此点的振幅差别.I等于sin[（-）ω+φ]dx即I等于cos[（-）+φ]-cos[（-）+φ],相当于在A点和 C2点的两个波源的干涉,这就解释了衍射包含干涉的原因.
5.3 缝宽窄和能量的关系
以上论证了散射点是斜前方向的,实际上内侧的每一点都是在波前往后一点的,越往里,则这个点越往后.这是因为播前的能量非常小,只有当内侧的位移搞过两侧的位移时,才产生散射.缝越宽时,相遇点距波前越远,形成的三角形较窄见图8.当缝较窄时,相遇时形成的三角形较宽见图9.等同于等腰三角形投影到波面上.
图8 宽缝的散射点三角形 图9 窄缝的散射点三角形 窄缝的三角形顶点与波形最大位移顶点的偶合程度大于宽缝的三角形顶点与波形最大位移顶点的偶合程度.所以窄缝的衍射能量强.
形成圆弧状的衍射条件是波宽接近尖脉冲才可以.
6.结论
（1）用采样定理和波的位移关系,论证了波向前传播的物理规律,解开了物理历史性难题.
（2）论证了共振的原理.
（3）分析了干涉的数学原理.
（4）根据衍射的现象推测了波的散射、衍射和底（下转第346页）（上接第296页）根,这些需要试验验证,重新总结和提高,但对于分析衍射原理本文开始了一个新的思路,对于过去的衍射方法而言是一个新的进步,但不完善,仅是一个推测.
【参考文献】
[1]黄祝明,吴峰.大学物理学（下册）[M].北京：化学工业出版社,2002：244-246.
[2]（American）Wolfgang Bauer,Gary D.Westfall.University Physics with Modern Physics[M].北京：机械工业出版社,2012：492-545.
[3]程乾生.信号数字处理的数学原理[M].北京：石油工业出版社,1979：45-51.
[4]宋瑞,杨辉.连续信号离散采样后频率公式[J].石油地球物理勘探,2009,44（3）：377-378.
[5]Sophocles J.,Orfanidis.Digital Parametric Equalizer Design With Prescribed Nyquist-Frequency Gain[J]. JAES,1997,vol.45,p.444.
[6]孙成禹,李振春.地震波动力学基础[M].北京：石油工业出版社,2011：153-172.
[7]何樵登.地震勘探学原理和方法[M].北京：地质出版社,1986：26-29,68-77.
[8][美]R.E.Sheriff著.徐中信.张中杰.于占元.等译.勘探地震学[M].吉林：科学技术出版社,1992,28,367-368.
[9]孙庆莉.惠更斯—菲涅尔原理在克希霍夫积分方法中的应用[J].西部探矿工程,2007（6）：52-54.
[10]顾书龙.惠更斯一菲涅耳原理和基尔霍夫衍射公式的讨论[J].商丘师范学院学报,2002,18（5）：19-21.
[11]段晓勇,单永明.光的干涉和衍射的Matlab数值模拟[J].大学物理实验,2012,25（3）：95-97.