数学在金融中的应用

摘 要：以金融数学为对象,分析了数学在金融中的应用,从随机最优控制理论、微分对策理论以及资本资产定价模型,探讨了数学在金融领域中的应用.

关 键 词：数学金融数学资产定价

引言

随着现代金融理论的逐步发展和完善,现代金融理论变得更加的复杂.而其中数学方法在其中的应用尤为重要,尤其是在金融数学形成之后,数学在进入体系中的应用变得更加重要.因此,分析数学在金融领域当中的具体应用具有现实的意义.

一、金融数学的基本定义

从金融数学的广义定义来讲,金融数学是指将数学理论与方法应用到金融经济运行当中的一门新学科.从狭义的定义来讲,金融领域中的数学问题主要是对不确定条件下多组合证券选择以及组合投资资产定价理论的分析,其中的套利、最优以及均衡是整个理论当中最为重要的三个基本概念.

将数学应用到金融领域当中就是以一些金融或者是经济中的相关检测设出发,采用抽象的数学方法来构建如何金融机理的相关数学模型.金融数学的主要包括数学基本概念与方法、相关的自然科学方法等在进入理论当中的多种形式的应用.通过数学的应用来表达、推理以及证明相关的金融学基本原理.从金融数学的本质来看,金融数学属于金融学的一个重要分支.所以,金融数学是完全建立在金融理论的背景和基础之上的,通过金融正规学术训练的从事金融数学的人将会在这个背景下更加具有优势.金融学是以经济学的应用分支学科身份发展起来的,虽然它以自身充足的特征而从经济学中独立了出来,但是它依然需要以经济原理以及相关的经济技术作为基础背景.同时,金融数学还需要财务知识、税收理论以及会计原理等作为知识背景.

二、随机最优控制理论

在当前金融理论的数学应用过程中,一个重要的应用领域就是利用数学来解决金融问题当中的随机性问题.而采用数学理论来解决金融问题的一个重要方法和手段就是随机最优控制理论.

随机最优控制是在整个控制理论发展晚期逐步的发展起来的,通过应用贝尔曼最优化原理,在结合测度理论以及泛函分析的方法来对随机性问题进行分析.这种方法形成于上世纪的60年代末,并在70年代初变得逐步的成熟.从应用随机最优控制理论方法而言,金融学家在这方面的反应是十分迅速的.在70年代初,金融学研究领域当中就出现了几篇相关的经济学论文,其中就包括默顿（Merton）利用连续时间的方法论述消费与资产组合中存在的问题,使得两者之间的组合分析更加符合实际情况；而布罗克(Brock)和米尔曼（Mirman）则在随机变化的情况下,使用离散时间的方法对经济最优增长的问题进行了论述.随后,随机最优控制方法在大部分的金融领域当中都得到了应用.我国的彭实戈等中青年学者在这方面也做出了大量的卓越贡献.

三、微分对策方法在期权定价与投资决策中的应用

在现代金融理论当中,数学在金融领域中的另外一个重要应用就是利用微分对策方法在期权定价以及投资决策中进行了分析,而且这方面的应用取得了较为明显的成果.由于在金融市场的整体规律与稳态检测设不相符合,出现异常的波动过程中,就会导致证券的出现异常变化,往往这种变化不服从集合布朗运动.这时,我们就需要使用随机动态模型来对证券投资的整体决策问题进行研究和分析.这种方法不管是从理论上还是从实际中都存在着较大的偏差.而利用微分对策方法来对金融领域当中的非几何布朗分布规律的金融问题有重要的所用,不但可以有效的放松这个方面的检测设,还可以将不确定的扰动检测象成为敌对的方面.针对整个不确定问题进行的优化分析将可以得到稳定性(鲁棒性)最强的投资组合策略.

同时,在利用微分对策方法对进入领域中的问题进行分析的过程中,只需要进行一次贝尔曼方程的求解,而该方程属于一阶偏微分方程,相对随机求解问题中的二阶偏微分方程而言要简单得多.所以,应用微分对策方法来研究金融领域当中的问题将具有广阔的前景,尤其是对于那些随机对策、重复问题、组合问题等金融证券投资问题当中的研究具有尤为重要的意义.

四、资本资产定价模型(CAPM)

这里所提到的资本资产定价模型就是建立在以夏普、林特纳以及莫辛独立提出的模型基础之上的.这个模型具有一系列的相关理想检测设,可以将其数学模型描述成为：

或

其中,——零风险利率；

——证券市场所有证券的评价预期收益率；

——证券市场所有证券的评价预期方差；

——证券I的预期收益率；

——证券I的平均收益率；

——预期收益率与平均收益之间的协方差.

通过利用CAPM模型,建立起了风险与证券收益之间的关系,将风险报酬之间的内部结构进行了完整的表述,也就是说风险报酬属于一个影响着证券所有收益的相关影响因子的风险组合.而所有的相关因素是表示的是证券市场对风险的承担者所提供的报酬,它们只与各个相关因素直接相关,而与单个证券种类没有明显的关系.利用这个证券模型建立起了各个证券收益与整个资产组合收益之间存在的量化关系,其中的值反映的就是这种相关程度的大小.而各个不同程度的值就可以反映出证券市场当中所有证券的收益结构.在金融领域当中,还可以利用CAPM来对证券金融市场中的风险进行归类,分为系统与非系统风险两种.总的来讲,通过数学来建立模型,可以为资本资产定价模型以及收益的预期提供一个更加近似的预测.

五、结语

本文对金融数学的基本定义以及功用进行了论述,从随机优化理论、微分对策在期权定价与投资决策中的应用以及资本资产定价模型的构建三个方面探讨了数学在金融领域中的应用.体现出了数学对现代金融分析的重要作用.