本站原创摘 要："用二分法求函数零点近似解"这节课前后知识点联系紧密,易于对学生学习前后知识点掌握情况进行教学测量.统计分析出的结果具有一定代表性,得到的方法和结论可普遍应用到高中数学教学中去.本次教学测量与统计分析,为教师的教学工作做了一个实践,具有参考价值,让教师的理论水平和教学实践水平得到提高,为今后教学做了系统研究,为教师今后处理教材及授课提供了理论依据和方法指导.
关 键 词：函数零点；二分法；教学测量；统计分析
【中图分类号】G633.6
1.研究此问题的方法
针对本节课设计难度适当的题目作为前测和后测.首先通过前测小卷,对学生所需预备知识的掌握情况进行研究,为拟定教学计划做铺垫.接着研究教材内容及知识点编写顺序,进行教育教学.然后通过后测小卷作为反馈进行统计与分析,研究教师教学过程、学生学习心理及学习能力.最后,得出结果撰写论文.
2.为何使用二分法求函数零点近似值
若函数是高次的,求不出方程根不好因式分解又画不出图像怎么办?有人想到往函数里代数,一直代到函数值为零,此时所代数值就是函数的零点.可这样一来计算量就太大了,因为在有限的区间内,实数的个数是无限的.若恰巧试出函数值为零的x值,自然好,可要倒霉的话,也许几天几夜也试不出函数值为零的x值.所以要引入二分法.二分法可快速缩短区间长度,更快逼近零点所在的范围,从而快速找到零点近似值.用二分法求函数零点近似值十分快捷,计算量大大降低,计算效率大大提高.
3.进行课前小测
课前给学生出几道求函数零点的题,检测学生做题情况.通过前测发现同学们不理解用二分法求函数零点近似值的原理,所以求零点时,都一味用公式求根或用图象求交点横坐标,硬算硬求.遇到高次方程时,同学们不知道求根公式也不知道如何因式分解,都束手无策.说明同学们对之前所学内容掌握良好,可对二分法的内容感到很陌生,不懂用二分法求函数零点近似解的原理,甚至不知道为什么要求近似解.这些都说明二分法的教学是很必要的.
4.教学实践
观察四个函数图象,说出各自零点.学生回答既快又准为二分法学习做好了准备.
第一个函数图象经过x轴时,函数值符号发生了变化,由负到正、由正到负、由负到正.即在零点左右两端,函数值符号相反.这样的零点叫变号零点.第二个函数图象经过x轴时,函数值符号没有发生变化,都为正.即在零点左右两端,函数值符号相同.这样的零点叫不变号零点.
现在学个定理：如果函数y等于f（x）在一个区间[a,b]上的图象不间断,并且在它的两端点处的函数值异号,即f（a）f（b）<0,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即在区间[a,b]上存在一点x,使得f（x）=0.此定理是用二分法求函数零点近似解的原理,要深刻掌握.
定理讲解重点在：是a到b的闭区间,不是开区间；图象是不间断的,也就是连续不断的,没有断点；函数值异号,从负到正或从正到负都行,只要保证一负一正；至少有一个,指最少能找到1个,也可能多于1个.
学了这个重要定理,下面就学习本节课的精髓--二分法.
例：求函数f（x）等于x3+x2-2x-2的一个正实数零点（精确到0.1）
题中求高次函数零点得先找到一个闭区间,且保证在其端点函数值异号.在确定闭区间时需注意,尽量让区间端点取整数,区间长度尽可能短.要求正实数零点,得在正半轴上找,即闭区间两个端点都要为正.分析到这,大家想想怎样确定这个闭区间?最简单的做法是往里面代数,只要代出一负一正就行.代1进去f（1）<0代2进去f（2）>0正好一负一正,端点函数值异号,故找到[1,2].
找到[1,2]后,就要在闭区间上找正实数零点.在[1,2]里找实数往式子里代,只要带进去后式子等于零,零点就找到了,就是代入的那个数.但在[1,2]上,虽然区间长度很短,只有一个单位,可就是这一个单位的区间长度,却包含了大量的实数,像1.1,1.2,1.01,1.001等等不计其数.若恰巧试出函数值等于零的x值,自然好,但要倒霉的话,可能几天几夜也试不出函数值等于零的x值.
所以引入一种新的方法--二分法.所谓二分法,通俗点说就是一分为二的方法,即把区间长度一分为二,取中点的方法.代中点进去,若函数值恰好等于零,就成功找到了零点,若函数值不等于零,接下来确定零点在前半个区间内还是后半个区间内,这样把区间缩短了一半,再在小区间里继续用二分法找零点.这样一来就十分快捷,计算量大大降低,计算效率大大提高.二分法可快速缩短区间长度,更快逼近零点所在范围,从而快速找到零点近似值.
现在就用二分法求零点.
取[1,2]的中点1.5,求f（1.5）的值,f（1.5）等于1.53+1.52-2×1.5-2等于0.625>0f（x）≠0接下来判断零点在[1,1.5]内还是在[1.5,2]内,f（1）等于-2<0f（1.5）=0.625>0一负一正,异号,零点在[1,1.5]内,区间缩短了一半,接下来在[1,1.5]内找零点.同理,取[1,1.5]中点1.25,f（1.25）<0,f（1.25）≠0f（1.25）<0f（1.5）>0异号,零点在[1.25,1.5]内.取[1.25,1.5]中点1.375,f（1.375）<0,f（1.375）≠0f（1.375）<0f（1.5）>0异号,零点在[1.375,1.5]内.取[1.375,1.5]中点1.4375,f（1.4375）>0f（1.375）<0f（1.4375）>0异号,零点在[1.375,1.4375]内.
算到什么时候结束?本题要求精确到0.1,当闭区间两个端点精确到0.1时相等,即左端点等于右端点时,就可停止了,这个数就是函数零点近似值.1.375精确到0.1是1.4,1.4375精确到0.1是1.4,故1.4就是所求零点近似值.
最后想想,用本定理求得的零点属于什么类型?在闭区间两端点处函数值异号,f（a）f（b）<0,是变号零点,故用本定理求出的都是变号零点.
5.进行课后小测
同学们能很好完成检测小卷中的基本题型,但对于较难题目,像含字母参数的题,还不是特别熟练,不知道如何带入,不明白字母也能做区间端点,说明同学们还需多做练习来巩固所学二分法知识,从而提高自身研究问题的能力.