全国大学生数学竞赛题的

【摘 要】本文对近几届全国大学生数学竞赛题目进行归纳、总结,并通过具体题目对解题方法进行分析.

【关 键 词】数学竞赛；数学分析；高等代数；解析几何

1.引言

全国大学生数学竞赛是一项面向本科生的全国性高水平学科竞赛,以激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新型人才为目的.从2009年开始举办,每届初赛定在当年10月底,复赛定于次年3月,参赛人数逐年上升,已成为全国大学生中最具影响力的赛事之一.

本文针对这几届的全国大学生数学竞赛试题（数学类）做了一些归纳、分析,并通过例子对解题方法进行一些总结.

2.竞赛题目分析

通过对2009年以来初赛及复赛的竞赛题进行分析,我们看出竞赛题主要包含数学分析、高等代数、解析几何三门课程,其中数学分析的比重50%,高等代数的比重35%,解析几何的比重15%,具体内容如下：

涉及数学分析的内容主要包含一元函数、多元函数及级数等,具体有：利用Taylor公式求变限积分的极限,将微分中值定理应用在确定函数或函数列零点等问题上,利用构造连续函数的方法来证明推广的微积分学基本定理,导函数的介值性在不等式方面的应用,利用比较法则或被积函数的单调性讨论反常积分的敛散性或反常积分的极限等问题,利用平均值不等式、Schwarz不等式、被积函数的单调性、变限积分等来证明积分不等式或反常积分不等式,用一元凸函数的连续性判断二元函数的连续性,用Hesses矩阵求二元函数极值问题,将三元函数最值问题转化为一元函数的极值问题,用Green公式、坐标变换、幂级数展开等计算二重积分,用迫敛性及平均值不等式求数列极限,构造条件收敛的数项级数使其收敛于任何指定的数,利用Cauchy收敛准则判断函数列一致收敛,利用函数项级数的一致收敛性讨论和函数的性质,利用幂级数展式求数项级数的和等内容.

涉及高等代数的内容主要包含矩阵、线性空间与线性变换、线性函数等,具体有：利用列相等证明矩阵的相等,利用正定矩阵性质来讨论半正定矩阵同时对角化,利用Jordan标准型判断矩阵方程是否有解,利用矩阵相似、合同的性质求解矩阵中未知量,利用不变子空间证明矩阵相似于由可逆矩阵和幂零矩阵构成的准对角矩阵,利用矩阵乘积AB与BA的非零特征值不变求解未知矩阵,利用多项式的性质证明矩阵相似不会因数域的变化而改变,利用不变子空间来研究线性变换的特征值及特征向量,通过选取一组基来确定空间维数及线性变换可对角化,利用矩阵的迹推导线性变换的迹及其性质,线性函数转化成方程组利用子空间的直和证明等式,利用双线性函数是迹的应用,利用线性函数的对偶基来证明所给定矩阵为数量矩阵.

涉及解析几何的内容主要包含空间直线及曲面方程等,具体有：利用向量垂直之间的关系确定直线方程,确定圆柱的轴线,从而确定圆柱面的方程,一条直线绕另一点旋转形成曲面的可能情形,给定曲面上的一些点判断曲面的类型,利用过原点的求解截线为圆周的平面方程,利用直线的参数方程求解锥面方程,给定四个点利用球面的一般方程求解球面方程.

通过竞赛题所涉及知识分析看出,竞赛题目基本没有超出这三门课程通常教材范围,但是竞赛分数却不是太高,是何原因呢?我们认为可能,由于学生掌握的基本知识不够扎实,缺少一些独立思考,还有知识间的联系与运用不太熟悉.因此,我们应该在平时的学习中首先要从基础抓起,做到没有不熟悉的知识点,理解并掌握每个定义、定理的证明及应用.其次建立知识框架,明晰知识之间的关系,以及知识在学科之间重合的部分,需要着重把握.最后我们应该通过做一些综合性比较强的题目,来熟练使用知识点,培养独立思考、分析问题的能力,还要学习一些解题技巧,从而提高数学思维,这样可以更好地提高处理问题的能力.

3.实例分析

根据竞赛题所涉及知识的归纳总结,具体分析几道题目的解题思维与方法,希望这些解题方法对参赛同学有所帮助.