数形结合的思想方法

摘 要：数形结合一直是历年高考考查的一种重要的思想方法,同时又是数学研究的常用方法.数学思想方法的教学分为两个阶段,即数形对应阶段和数形转化阶段.教学中应遵循以下原则：等价性原则、双向性原则、简单性原则.

关 键 词：数形结合思想方法高中数学教学基本原则

数形结合就是根据数与形的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题,把图形性质问题转化为数量关系问题,或者把数量关系问题转化为图形性质问题.通过“以数解形”或“以形助数”,把复杂问题简单化,抽象问题具体化,兼取了数的严谨与形的直观两方面的长处.

一

纵观整个高中阶段的数学教学,笔者分两个不同阶段来开展数形结合思想方法的教学.

1.数形对应阶段：这是数形结合思想方法中的基础阶段,主要在新授课阶段逐步渗透和感悟.

例1.不等式|x+1|+|x+2|≤3的解集为?摇?摇?摇?摇.

解：

如图：|AP|+|BP|≤3,由图可知x≥1或x≤-3.

注：此题若按照纯数学方法去解,则需要通过零点分区间法分为三个不等式组后取并集才能完成,但是如果能关注到|x+1|和|x+2|的几何意义为x轴上线段|BP|,|AP|的长,就可以一目了然,得到正确答案.

拓展：求y等于+的最小值.

解：表示点P（x,0）与点A（1,2）之间的距离,表示点P（x,0）与点B（-1,0）的距离,则由三角形两边之和大于第三边的关系可知在点B处的距离之和的最小值.

注：此题如果用“纯数”的方法是很难解决的,但是通过考察式子的特点可以找到相应的几何图形,从而利用几何图形的性质帮助我们解决问题.在分析问题,解决问题时重视“由数想形,以形助数,数形结合”,对于提高数学解题能力是十分有益的.

2.数形转化阶段：它体现在数与形的关系在具体问题的解决过程中,如何作为一种方法来加以使用.

例2.在抛物线x等于-y上求一点P,使得点P到直线l：x+y等于4的距离最小.

解：设直线l：x+y等于b,且与抛物线相切,则由x+y等于bx等于-y得：x-x+b等于0.

△等于1-4b等于0,∴b等于.当b等于时,x等于,y等于,∴P点坐标为（,-）.

注：利用两平行线内的点到直线l的距离都小于两平行线间的距离；两平行线间的距离小于两平行线之外且在l的一侧的点到l的距离,从而确定点P的几何位置.

例3.已知：x≥1,y≥1且满足logx+logy等于log（ax）+log（ay）（a>0且a≠1）,求：log（xy）的取值范围.

解：logx+logy等于1+2logx+1+2logy,

令X等于logx,Y等于logy,

则有（X-1）+（Y-1）等于4（1）

令T等于logx+logy等于X+Y（2）

（1）若a>1,则X≥0,Y≥0,

则方程（1）所表示的曲线就为如图所示圆的一部分.

方程（2）Y等于-X+T表示的直线为l,

T为直线l在y轴上的截距,由图易求得T∈[1-,2+2].

（2）当0∴当a>1时,log（xy）的取值范围为[1-,2+2]；

当0注：解答数学问题时,要注意数与形的辩证统一,尽量避免撇开“形”去孤立地研究“数”或忽视“数”去孤立地研究“形”,实际上离开数的研究也很难得到精确的答案.

二

数形结合解题教学过程中应遵循以下几个基本原则.

1.等价性原则

在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.填空题的解答由于不需要过程,因眩可以大胆猜想,此时的几何性质很多时候可以采取直观判断甚至猜想的方法得出结果.但是作为解答题,需要完整的逻辑推理过程,此时数形结合的思想方法更多的是作为思路分析、化简运算及推理的过程的一种手段.这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,但它同时也是抽象而严格证明的诱导.

2.双向性原则

数形结合作为一种沟通“数”和“形”的重要思想方法,过分注重数的运算不考虑几何性质固然不可取,但是过于依赖形的直观丢掉数的严密也会带来很多的失误,两者必须相辅相成.

3.简单性原则

从途径上来说数形结合有两个方向：以数找形和赋形以数.至于具体采用代数方法还是几何方法,取决于何种方法更为简洁,而不是刻意把几何问题代数化或者代数问题几何化.

总之,数形结合是研究数学问题并实现问题的模型转换的一种基本思想和基本方法,它能沟通数与形的内在联系.在解题中学会以形论数、借数解形、数形结合,直观又入微,提高形数联想的灵活性,有助于思维素质的发展,有利于提高解题能力.