数形结合在高等数学中的应用

摘 要：数形结合实际上是把抽象的数学语言转化为直观的图形.这个方法的应用,既可以简单形象的解决数学问题,又可以开拓我们的学习思路.本文重点讨论了数形结合思想在集合、数轴、函数、方程等的应用.

关 键 词：高等数学；数形结合；抽象

中国分类号：O13

1引言

高等数学是高校中理工以及财会等专业的一门公共基础课,教学内容很多,但教学课时往往安排的偏少,再加高等数学是一门高度抽象的学科,在知识的广度和深度上,在思维能力上,都有极高的要求,这就给教学带来了很大困难.这就要求教师在教学过程中要把抽象的知识点形象化、具体化,引入数形结合思想有助于这一问题的解决.通过数形结合思想培养学生多方面的思维能力,例如形象思维和逻辑思维等,数形结合有助于加强对概念、定义的深入理解,提高解题效率.另外,数形结合思想体现了数学的实用价值,通过形象的图形来描述数学问题,达到了解题的求简目的,增加了学生的学习兴趣,增强学习的信心.

2数形结合在高等数学中的应用实例

利用数形结合可以增加高等数学解题的求简意识.数学知识来源于对实践的感性认识,在对数学的认识过程中,也是这样.通过数形结合可以提高对数学知识的认知能力,通过数形结合可以从直接体验数学知识,加强对概念、定义、定理的理解,更好的掌握数学知识的内涵和外延,提高对高等数学的自主学习能力.

2.1利用数轴解决集合的相关问题

当两个集合的解是不等式时,要求其并集或者交集,可以用过数轴表示来把不等式的解集表示出来.

例1：已知集合A等于{X|-2

（1）若AB,求a的范围

（2）若BA,求a的范围

解：

（1）用数轴来表示集合A,根据题意得,集合B覆盖集合A,如图（1）,则a≥2,且2a≥6,

得出a≥3.

（2）若集合A覆盖集合B,如图（2）所示,则-a≥-2,且6≥2a,且2a>-a,得出0-a-262a-2-a2a6

（1）（2）

通过上述例题充分利用了数轴,把抽象的数学问题反映到图形上,清晰的表达各集合之间的关系,从而得解答集合运算、求解参数值等一系列的问题.

2.2函数图像的应用

函数图像是高等数学的重要内容,充分利用函数图像可以简化解题过程.

例2：已知方程|x2-2x-1|等于k有4个根,求实数k的取值范围.

解析：此题目是讨论根的个数,不用求具体的解,该题可以转化为求两个曲线交点的个数.

解：方程|x2-2x-1|等于k根的个数讨论可以转化为函数y等于|x2-2x-1|和y等于k两图像的交点情况.根据题意画函数图像得4个交点,如图（3）,则当0

y等于|x2-2x-1|

y等于k

（3）

该类题型的解答,如果当作方程式求解,来求参数的取值,难度会很大,但是转化为函数图像问题,则转化为定性讨论,利用函数图像,此问题就迎刃而解了.因此,函数图像可以作为根的个数讨论的重要方法.另外,函数图像还可以解决函数单调区间的讨论问题、抽象函数问题等.

3小结

在数形结合的过程中,“数”的代数性质与“形”的几何性质可以互相表达,二者保持一致的等价性,从根本上保证了数形结合思想的统一发展.直观的几何图形能够把抽象的数学知识形象化、简便化,从而给我们良好的视觉感受,增强对高等数学学习的乐趣.

在进行几何直观的分析的同时还要进行代数抽象的探索,代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性,能克服几何直观方法的许多局限性,“数”与“形”各有其优缺点,我们就要尽量做到删繁就简,去粗取精,从而扬长避短,尽可能地发挥它们各自的优势.最后,数形转换时尽可能构图简单合理优美,从而可使代数计算简洁、明了,这样还能给我们良好的视觉感受,增添我们的学习乐趣.