中学数学建模活动中常用的建模方法

【摘 要】我国的中学数学教育,不同程度地存在缺乏应用数学的意识、兴趣和能力方面的问题.笔者开展了在中学从课内外结合进行数学建模的活动,目的是培养学生的创新意识和应用能力,让学生学得生动活泼,使数学素质教育跃上一个新的高度.

【关 键 词】中学数学数学建模活动探索

【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2014）8-0129-02

“创新是一个民族进步的灵魂,是我们国家兴旺发达的不竭动力.”中学数学建模活动最大的优点是学生的主动性,创造性可以得到充分发挥,学生的主体作用得以体现.在中学数学建模活动中,常用的建模方法有机理分析法、数据拟合法、类比分析法、图解法、检测设法等,以下就这些常用的方法略以阐述.

1.机理分析法

机理分析法是指应用自然科学、数学科学等中已被证明是正确的理论、原理和定理,对被研究问题的有关因素进行分析、演绎、归纳,从而建立问题的数学模型.机理分析法是中学数学建模活动中最常用的一种方法.当我们遇到一个问题时,总是想方设法化归到我们已经掌握的知识范围内处理.当我们对某问题的各有关因素有比较透彻的了解时,机理分析法尤其适用,我们可以根据该问题的有关性质来直接建立数学模型.

例如,在公路旁的某镇北偏西60°且距离该镇30km处的A村和该镇东北50km的B村,随着改革开放要在公路旁修一车站C,从C站向A、B两村修公路,问C站修在公路的什么地方,可使费用最少?

分析：此问题可以和物理光学内容相联系.

设以公路为x轴,该镇为原点建立直角坐标系,

则A（-15,15）,B（25,25）

作A点关于x轴的对称点A’（-15,-15）,

连结A’B交x轴于C,则C为所求站点.

2.数据拟合法

很多情况下,由于我们对一个问题的结构和性质不很清楚,因此就无法应用机理分析法找出符合规律的数学模型.不过如果通过实验或测量已经得到了描述这个问题的一组数据,那么我们就可以对这些数据加以分析利用,数据拟合法就是根据对这些有限的数据的研究分析,找到能够精确或大致反映问题本质属性的数学模型.

例如,据世界人口组织公布地球上的人口在公元元年为2.5亿,1600年为5亿,1830年为10亿,1930年为20亿,1960年为30亿,1974年为40亿,1987年为50亿,到1999年底地球上的人口数达到了60亿,请你根据20世纪人口增长规律推测,到哪年世界人口将达到100亿,到2100年地球上将会有多少人口?

分析：题目中的数据均为大致时间,粗略估计的量,带有较多误差,因此,寻口增长规律不需要也不应该过分强调规律与数据完全吻合,因此,组建预报模型.不必要考虑20世纪以前的数据资料,在20世纪人口的增长速度是逐步变快的,因此不能应用一次函数来作为预报的模型,而应选择指数函数.故选择N（t）等于aert,其中N（t）为t时间的人口数,a、r为参数.数据拟合是处理这类问题的有利根据.我们通过已知数据,去确定某一类已知函数或寻找某个近似函数,使所得的拟合函数与已知数据有较高的拟合精度.

3.类比分析法

如果两个不同的问题,我们都可以用同一形式的数学模型来描述,那么这两个问题就可以相互类比.通过类比分析法,我们可以去猜想这两个问题的一些属性或关系也可能是相似的,从而帮助我们掌握复杂事物的规律,提高我们分析问题和解决问题的能力.

例如：问题1.房间有8个人,每个人都和其余每一个人握手一次而且都只能握一次手,问他们共握多少次?

问题2.8个班参加篮球循环比赛,共比赛多少场?

这是两个生活中的例子,可以建立这样的模型：把每个人看成一个点,构造一个凸八边形模型,则每条边和对角线都表示“握手”和“比赛”,问题归为求凸八边形的对角线数加边数.即得28：当然可以推广到n个,结果是：

4.图解法

图解法是将问题表述在图形中,利用图形直观判断实际问题的解.常用于传递性关系或仅涉及变量的近似数据,可用的信息不多或这些信息又不精确时.例如相遇问题：某轮船公司每天都有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中所化的时间来去都是七昼夜,而且都是匀速航行在同一条航线上.问今天中午从哈佛开出的轮船,在开往纽约的航行过程中,将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来?

从图形中显而易见地看到,从哈佛开出的轮船抵达纽约时,遇到了14艘同一公司的轮船从对面开来.

中学数学建模的方法还有很多,而且各种方法之间也没有明确的区分,在此就不再一一罗列.