本站原创人教版八年级十二章实数中的无理数教学,初看很容易理解,但学生掌握起来就有相当难度.对、 等无理数大小难以把握,感到很陌生,不可思议,更谈不上对实数大小的正确比较.因此,在无理数的教学或复习时,我采用了以下几点做法,收到了较好的效果.
一、辨析概念,搞清内涵
无理数的概念是无限不循环小数.因此,对下列两种说法引导学生讨论解决:①无限小数是无理数,②无理数是无限小数.经过学生讨论,认为②显然与无理数概念相违背,不正确.但对①众说纷纭,其中一部分认为正确,另一部分认为错误.这时,我顺着说错误的学生说对.此时一些学习较好的学生急坏了,连忙说:老师你错了.我说错了你们就拿出理由,让大家认同.这时课堂上出现了争论,甚至学习好的去和有不同意见的学生争论.大约五分钟后,一位同学站起来质问我说:老师,人包括男人、女人对吗我说:千真万确.他接着问道:男人是人对吗我又有肯定的回答了他.他继续说:无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,那么无理数是无限小数为什么不对呢立刻课堂上爆发了热烈的掌声.我不仅情不自禁为这位同学喝彩,而且为学生自身搞清概念内涵而由衷的高兴.
二、由实例出发,无理数可用线段表示
首先从滚铁环的例子引入:同学们,大家都滚过铁环吧如果你的铁环直径是2分米,你们需要多长的钢丝做铁环呢同学们很快说出答案:πd等于2π≈6.28(分米).我说对,π是一个无限不循环小数,计算时,可取近似值π≈3.14来计算.但就精确角度而言,半径为一分米的圆周长就是2π分米,滚动一周后,就是一段定长线段2π.说明无限不循环小数2π能用固定线段长表示.再如:算术平方根定义:若χ2等于a,则χ等于 ,接着我用七巧板摆出了下列图形:
两个面积为1的正方形拼成面积为2的正方形:因为()2 等于2,所以大正方形边长为,再用四个直角三角形和一个边长为(―1)的正方形拼成面积为3的一个正方形:因为()2等于3,所以正方形的边长为.这说明,无理数、都可以用定长线段来表示.我问学生们有不同意见吗部分学生举手说:无理数无限不循环,怎么能用固定线段长来表示真奇怪.我又把铁环周长为2π,边长为 的正方形面积为2,边长为
的正方形面积为3再强调了一遍.接着我又阐述了一遍:2π、、这些无理数都能用定长线段来表示,这是无理数的一个特性.大家明白了吗这时大部分学生都明白了,极少数学生还存在疑惑.
三、用无限度量法说明无理数,增加趣味性
2π分米约为6.282等分米,分米约为1.414等分米, 分米约为1.732等分米.对于2π分米线段,取1分米度量,量6次,剩下部分用1/10分米度量,量2次,再用1/100分米度量,量8次,再用1/1000分米度量,量2次,这样无限度量下去,永远量不完.接着抽了一名学生模仿说出分米线段:取1分米度量,量一次,取1/10分米度量,量4次,取1/100分米度量,量1次,取1/1000分米度量,量4次,这样无限度量下去,永远量不完.紧接着,要求全班同学说出分米线段:取1分米度量,量一次,取1/10分米度量,量7次,取1/100分米度量,量3次,取1/1000分米度量,量2次,这样无限度量下去,永远量不完.如此操作,学生对无理数的无限不循环性及无理数表示定长线段的不可度量性形成了统一认识.接着小结:无理数从意义上说无限不循环,从表示定长线段来说,无限不可度量,这就说明了无理数的无限性和完整性的统一,十分有趣.
四、解释无理数存在形式,完整认识无理数
无理数存在形式:①常数无理数,如π≈3.141592等,e≈2.71828等等等,为代数运算提供方便.②开不尽方的数都是无理数,如 、、、、 、、 、
等等,③无限构造式.每个人都可以随心所欲写出一个无理数,只要小数点后无限不循环即可.这样,无理数的数量就多如牛毛.把它们都统一到数轴上,自然想到:有理数在数轴上留下了许多空位,只有让无理数增补上去,才能充实数轴.这样有理数和无理数统称实数就不难理解了.因此,有理数和数轴上的点不能一一对应,只有实数和数轴上的点才能一一对应.
总之,无理数在学生大脑中很陌生,无理数的大小和存在更加抽象.如何变抽象为直观,变不定性为可把握,是每个数学教学工作者必须认真思考的问题.
(作者联通:725700陕西省旬阳县双河镇中学)