本站原创学生理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、关键属性的过程.如果某类数学对象的关键属性主要是由学生对大量同类数学对象的不同例证进行分析、类比、猜测、联想、归纳等活动基础上,独立概括出来的,这种概念获得的方式就叫做概念形成.
笔者现以概念形成理论为基础简述数学概念的教学过程.
概念教学的基本步骤是：（1）数学概念背景的引入.（2）通过分析、比较不同的例证,进行相关属性的概括和综合.（3）概括例证的共同本质特征得到概念的本质属性.（4）形成概念的定义,并用符号表示数学概念.（5）概念的辨析,进一步明确概念的内涵和外延.（6）概念的初步应用,形成用概念作判断的具体步骤.（7）建立与相关概念的联系,形成概念之间的结构.
1.数学概念背景的引入.一般来说,教师教学一个新概念,先应让学生体会和认识学习的必要性,包括明确学习这一概念的意义,了解概念的作用,引发学生学习的动机.这就是概念引入环节的主要目的和任务.
新概念的引入方式一般可分为两大类：一类是从数学概念体系的发展过程中引入新概念,另一类是从解决实际问题的需要出发引入新概念.
2.通过分析、比较不同的例证,进行相关属性的概括和综合.例如,在“函数单调性”的教学中,我们就可以首先举出若干增函数的例子,如正比例函数,反比例函数,二次函数,让学生观察、思考,初步得出有的“在某个区间上图像上升”,有的“在某个区间上图像下降”,并通过表格定量地分析自变量的增大与函数值的变化之间的规律,为学生抽象概括本质属性奠定基础.这里的例证一方面应以正例为主,另一方面又要关注正例的多种变式.
3.概括例证的共同本质特征得到概念的本质属性.还以“函数的单调性”教学为例,在学生观察思考上述例证之后,教师可以引导学生尝试概括“增函数”的共同的本质特征.
4.形成概念的定义,并用符号表示数学概念.例如,“增函数”的定义是“一般地,设函数f（x）的定义域为D,如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1 5.概念的辨析,进一步明确概念的内涵和外延.教师将概念与其他有关概念进行联系和分化,使新概念与认知结构中已有的起固着点作用的相关概念建立起实质的联系.例如,在学习三角函数中的“第一象限的角”这个概念以后,学生如果不及时与已有的“锐角”概念分化,就很容易把两个概念混淆.为此,教师在本阶段教学中应注意：（1）对定义的关 键 词 进行分析.（2）以实例（正例、反例）为载体,让学生进行辨析.防止概念理解错误的一种有效方法是举反例,反例就是与定义对象内涵不一致（扩大或缩小）的例子.（3）让学生自己举出若干实例,检验学生对概念的理解. 6.概念的初步应用,形成用概念作判断的具体步骤.该步骤本质上是检验和修正概念定义的过程.学生通过解决用概念作判断的具体事例,形成用概念作判断的具体步骤,通过运用概念,使得抽象概念变成思维中的具体.例如,在形成“任意角三角函数”概念的定义后,为了让学生熟悉定义,教师可从中概括出用定义解题的步骤,可以安排如下问题：（1）分别求自变量,?仔-所对应的正弦函数值和余弦函数值.（2）角的终边过点P（,-）,求它的三角函数值. 7.建立与相关概念的联系,形成概念之间的结构.在概念获得的过程中,很重要的是通过概念之间的关系来认识新概念,由于在这个过程中经历了新旧概念的相互作用,无论是已有的概念还是新概念在认识上都有了发展,认知心理学家把此时的概念称为“精致的概念”.在数学学习中,“精致”可以从两个方面进行：一方面是对新概念的内涵与外延进行尽量详细的“深加工”,通常表现为对各种可能的特例或变式进行剖析,分析可能发生的概念理解错误；另一方面是加强概念与概念之间关系结构的“组织”,使学生所学概念与其相关的知识之间的联系明确化,从而形成一个合理有序的概念系统.例如,在学习“任意角三角函数”的概念后,教师可通过概念的“精致”引导学生认识概念的细节,并将新概念纳入到概念系统中去,使学生全面理解三角函数概念.这里包括如下内容：（1）三角函数值的符号问题,（2）终边与坐标轴重合时的三角函数值,（3）终边相同的角的同名三角函数值,（4）与锐角三角函数的比较——因袭与扩张,（5）从“形”的角度看三角函数——三角函数线,即联系的观点,（6）终边上任意一点的坐标表示的三角函数. 中学数学的运算、推理、证明等都是以有关概念为依据的.因此,教师在教学中应加强概念在运算、推理、证明中的应用.有时,教师围绕一个概念要配备多种练习题,让学生从多角度、多层次上去进行应用,让学生先巩固性应用,后综合性应用,在应用中达到切实掌握数学概念的目的. （责编 高伟）