数学定理的教学

定理是经过数学证明确认其真实性的命题.数学定理在教学中,要使学生了解定理的来源,认识定理的条件和结论,证明方法适用范围,定理与定理之间的内在联系.把所学的定理有系统总结.

一、研究定理的来源

研究定理的来源,有助于学生理解和记忆定理的内容.可以培养学生的数学发现和创造能力.学习定理有两种方法：一种是自己积极思考,弄懂推导定理来源；二种是记忆、背诵、观察、测量、计算、作图的活动去猜想.例如：讲授勾股定理时,可以用硬纸板做三个正方形拼在一起,看一看组成一个直角三角形三边的平方有什么关系,也可以用直尺度量三个正方形边长,从而得到大正方形边长的平方等于两个小正方形边长的平方和.这个定理的正确性.再如组成三角形的三边关系中,“三角形任意两边之和大于行第三边”与“三角形任意两边之差小于第三边”.我们可以根据上述定理得到：两点之间线段最短.

二、教学中认识定理的结构

认识定理的结构是证明定理的最基本出发点.它是帮助学生找到定理的条件和结论,以及定理所在的概念的特征和图形的性质.有关数学符号,把已知和求证准确地表达出来.

例如：线段垂直平分线性质定理,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.

讲解时,可以如下分析：定理中所说的线段垂直平分线的点是指“线段垂直平分线上所有点”或者“一个点”.也就是说线段垂直平分线上所有的点到线段两个端点的距离相等.这样可以利用图形来表示.

点P是线段AB的垂直平分线上的一点,则点P到A、B两点的距离相等.然后用数学符号来表达定理的已知和求证.连结PA、PB,∠POA等于∠POB等于90,AO等于BO,PO等于PO,推出：PA等于PB.再如,角平分线性质定理,分析这定理,学生自己写出定理的已知和求证,这可以找到证明方法.

三、定理的证明过程

定理的证明过程是教学的重点和难点.通过证明帮助学生弄清定理的本质联系.加深对教学定理的理解,方便记忆和应用.同时讲解定理的证明,使学生明确证明结构,常用各种证明方法要遵守证明的规则.所以在教学时,加强分析法和综合法结合起来使用.首先以分析法为主寻求证明思路,然后用综合法表述证明过程,用连贯的、完整的证明过程写出来.如右图：AB等于CD,BC等于DA,E、F是AC上的两点,且AE等于CF求证：BF等于DE

分析：先观察图形,由已知条件中,不能直接证明结果.从已知到可知.又在未知找到须知.

（1） 题目的结论要证BF等于DE,可以先证△AED≌△CFB或△DEC≌△BFA.↑

（2） 已知条件中,证明△AED≌△CFB是容易的.

（3） 要证明△AED≌△CFB,AE等于CF还要找到第三个条件,要找到第三个条件不可能是边,只有找∠1等于∠2.

（4） 为了要证明∠1等于∠2,找它们的一对三角形,△ABC和△CDA全等.

（5） 可以用“SSS”公理证明△ABC≌△CDA.

如下图分析过程：

上面的思路分析,便是以分析法为主寻求证明思路,综合法来表述证明过程的结合使用.

四、学生对定理的应用

对于学生学习数学定理是有一个过程的.一般是从懂到会,然后熟悉的过程,这个过程中,教师可以结合例题,要求学生多做数学习题,自己先总结这个定理的适用范围.例如三角形中位线定理.讲解时,连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线和三角形的中线不同.通过例题,讲解习题的练习.通过总结,了解定理的特点,从而提高应用定理的能力.

五、定理的系统化

定理的系统化,是弄清多个定理在数学课程中的地位,作用.定理与定理之间的内在联系.把学过的定理进行系统的整理.

例如,角的分类

（1） 按一个角的大小分类：

名称 直角 平角 周角 锐角α 钝角β

大小 90 180 360 0<α<90? 90?<β<180?

说明 角的大小一定 角的大小在一定的范围内

（2） 按二角的大小分类：

概念 大小 角两边的位置关系

互为余角 和一定为90 与位置无关

互为补角 和一定为180 与位置无关

（3） 按二角的位置关系分类：

概念 大小 角二边的位置关系 图形

对顶角 相等 一角的两边,是另一角两边的反向延长线

同位角 不一定相等 一边同向、共线,另一边同侧不共线

内错角 不一定相等 一边相向、共线,另一边异侧不共线

同旁内角 和不一定 一边相向、共线,另一边同侧不共线

再例如,点和圆,直线和圆,圆和圆的位置关系,复习时可以整理成下表,以沟通定理间的内在联系.

点和圆的位置 直线和圆的位置 圆和圆的位置

点在圆外 d>r 直线与圆的相离 d>r 两圆外离 d>r1+r2

点在圆上 d等于r 直线与圆相切 d等于r 两圆外切 a 等于 r1+r2

两圆相交 |r1-r2|点在圆内 d

两圆内含 d<|r1-r2|

点合于圆心 d等于0 直线过圆心 d等于0 两圆同心 d等于0

表中,r、r1、r2表示圆的半径,d在点和圆的位置关系中表示圆心到点的距离,在直线和圆的位置关系中表示圆心到直线的离距,在圆和圆的位置关系中表示两圆心间的距离.

总之,数学定理在教学中尽可能做到把它讲深、讲透,简明扼要,通俗易懂.

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收稿日期：2014-03-14