本站原创图形的直观启示是我们在解题过程中需要关注的,但从你解题的实践说明本题用填空题的形式出现,有它内在的缺陷. 我也对该题作过一些探究,颇有引人入胜之感,不妨我俩来交流一下.
俗话说“触类旁通”,不知你看了这题,头脑中联想到了什么?
我想起了一道经典题：如图3,在等边△ABC内有一点P,PA等于3,PB等于4,PC等于5,求∠APB的大小.与本题很相似.
如何解这道题你还有印象吗?
有. 将△ABP绕B点顺时针旋转60°,得△BP′C.连接PP′,△BPP′为边长是4的等边三角形,△PP′C的三边长为3、4、5,构成直角三角形,得∠BP′C等于60°+90°等于150°,即∠APB等于150°.
你说得很对. 本题只是将等边△ABC迁移为正方形ABCD,是这条经典题的类比与拓展,所以考虑旋转也就在意料之中了.
我记得除了求出∠APB等于150°,还可求出等边△ABC的面积,那能求出正方形ABCD的面积吗?
这正是我要说的变化三,求正方形ABCD的面积.
受前面的启发,如图4,过B作BF⊥CE′于F,∵∠BE′C等于135°,∴∠BE′F等于45°,∴BF等于E′F等于等于,在Rt△BCF中,BC 2等于BF 2+CF 2等于
（）2+（1+）2等于5+2. 所以正方形ABCD的面积是5+2. 如果将问题改为求△ACE的面积,也很有意思. 结果是. （请你想一想,为什么?）
我们再来看变化四：求ED的长.
这怎么去求呢?
我们来看看用代数法能否解决它. E点的位置由E到边AB、BC的距离来确定,为此过E作EK⊥BC,交BC于K,交AD于M；过E作EN⊥AB,交AB于N,延长NE交CD于P,如. 设EN等于h1,EK等于h2,正方形边长为a,根据已知条件有：h2 1+h2 2等于4①,h2 1+（a-h2）2等于1②,（a-h1）2+h2 2等于9③,而ED2等于（a-h1）2+（a-h2）2.
还可以这么做呀!
如果你对整体化思想理解更深一些,从寻求所求结论与已知条件之间的整体的联系着手,发现②+③得h2 1+h2 2+（a-h1）2
+（a-h2）2等于10,即（a-h1）2+（a-h2）2等于6,问题的解决更简单了.
你说得很好. 今天我们一起对一道题深入思考,不断探究,将很多相关的知识、方法、思想串联起来,开拓了思路,扩大了视野,增强了对知识的探求能力,也收到了很好的复习效果. 这种做法,值得提倡.
（作者单位：江苏省镇江市第四中学）