本站原创摘 要：介绍了分形几何理论的基础以及分形图形的主要生成方法,阐述了分形几何学在计算机图形学中的应用.
关 键 词 ：分形几何；计算机图形学
中图分类号：TP391.41
分形几何学从70年代创立以来,在近代科学技术的发展中,已越来越为人们所重视.传统几何学的研究对象是整数维数,比如一维、二维平面内的点线等,而分形几何学则研究的是分数维数,它的研究对象一般是那些不规则形状的.分形几何学与动力系统中的混沌理论结合在一起,在众多领域的应用取得很大的成功.很多学科领域都开始对分形理论展开研究,取得理论突破的同时,也能够应用到具体的学科当中去.物理学中,可以用分形理论来研究基本粒子；生物学中,可以对蛋白质进行研究；地质学中,借助分形可以提高地震预报水平；信息科学中,可以研究通信中噪声的结构和模式以及语音识别；经济学中,可以对商品浮动的规律加以研究；此外分形理论还可以用于教育学、管理学等更多领域.
目前,在传统几何学的基础上,计算机图形学发展比较迅速,能够对一些规则图形进行比较好的绘制.但是随着对计算机图形学相关要求的不断提高以及自然景物模拟的迅速发展,传统图形学已经不能取得很好的效果,当面对自然景物中的非规整形状,传统图形学显得束手无策.而在计算机图形学中引入分形几何学,就能够对那些不规则的图形进行适当的处理和绘制.通过分形几何,可以从大量的数据中,按照一定的方法选取合适的少量数据,就可以生产复杂的自然景物,绘制的效果比较逼真.通过分形几何和计算机图形学的结合,能够逼真的描述海岸线、地形图等自然风景.下面先对分形几何的理论基础进行介绍,再讨论一下分形几何在计算机图形学中的一些应用.
1.分形几何理论基础
分形几何之所以能够结合计算机图形学实现对不规则事物进行逼真描述,是因为分形几何所具有的一些特征.分形事物的组成部分与整体存在某种方式相似,比如自相似和自仿射.自相似就是事物的局部与整体相似,通过适当的放大尺寸,任何一个小的局部都可以与整体重合；自仿射则更加复杂、更加一般,自仿射事物的局部事物通过在各个方向的不同伸缩比可以得到整体事物.自相似和自仿射的性质使得分形几何结合计算机图形学可以逼真的描述大自然景物,两者两比,自仿射分形更为复杂,但更接近现实,研究意义更加重要.
分形有效的解决了局部与整体的关系问题,借助空间结构的对称性、自相似性以及自仿射性,可以得到比较逼真的图形模型,整个生成的景物丰富多彩,细致逼真,具有独特的艺术魅力.所生成的景物可以是结构性强的山峰,也可以是结构性弱的云烟.这其中的关键是要选择一个合适的模型来进行描述.根据分形造型模型的不同,可以分为四种分形图形的方法：基于L-系统的分形图形；迭代函数系统IFS方法；粒子系统模型方法；随机插值法.下面主要介绍常用的两种方法：基于L-系统的分形和迭代函数系统的分形方法.
2.基于L-系统的分形图形
L-系统方法是将L-系统和计算机图形学进行有效的结合,能够有效的模拟自然界的景物,其中的L-系统是用形式语言对植物形态进行描述的拓扑结构.
在L-系统方法中,比较重要的是并行重写系统,它可以不断的进行迭代以达到最终需要的结果.在重写规则确定后,可以从一个初始图形进行迭代嵌套,最终生成图形.L-系统方法的生成过程需要大量的时间,但是相关的公式比较简单.
L-系统方法中进行迭代时,经过一两次的迭代后,图形的样子还比较简单,图形的特征还不够明显,但是随着迭代次数的不断增加,图形的特征越来越明显,从而可以得到清晰逼真的图形.所以我们制作分形数时,可以根据L-系统方法进行不断的迭代,从而得到完美的树形.
除了L-系统的分支结构类型外,还有参数L-系统、随机L-系统等类型,这些方法的基本思想是一样的,只是他们的绘图技巧不一样,绘图使用更灵活,得到的图形也就越逼真.
3.分形几何的应用
分形图形所依据的函数是混沌的,所以当相应的参数发生微小的变化时,便会得到不同的结果.当选取合适的参数时,能够使图形颜色的设置更加合理,得到的图形更加逼真.借助计算机,我们可以清楚的看到这种变化的过程,可以了解到图中许多重复出现的地方,具有无限嵌套的精细内容,分形之美得到了充分体现.分形几何在计算机图形学中的应用,不但充分展现了分形几何所具有的优势,而且促进了计算机图形学的进一步发展.
分形几何中的递归迭代可以得到精美的分形图案,根据变换的不同,可以得到不同的分形图案.当在三维空间定义变换时,还能够得到三维立体图形.虽然迭代函数参数的分布比较复杂,但是分形的计算机生产方法有很多种,都能够找到控制形状的参数,从而实现参数化.分形几何在计算机图形学中的应用,不仅仅给研究数学的学者指出了一条启发道路,而且应用得到的精美图形可以供人欣赏,还能用于图案设计等.
根据分形布朗运动,可以在计算机图形中产生逼真的海岸线.在对平面地图的海岸线进行绘制时,想要得到很逼真的效果,则需要采取大量的数据点,这样不仅仅浪费计算机的内存,而且整个收集绘制的工程量也非常大.根据分形布朗运动扰动的方法,只需要少量的数据点便能够达到逼真的效果.同理,可以产生逼真的三维地形图以及粗糙表面的纹理,不同的是需要在三维空间上进行模拟.
分形图形之所以能够得到大家的认可,是因为分形图形的内涵比较深刻、图形层次丰富,体现了混沌和有序之美,而且这是需要借助计算机图形学才能够得到,任何再高明的画家也不能做到.但是一般的设计人员并不是很熟悉分形的相关理论,所以将计算机分形图形进行进一步的推广还具有一定的难度,需要采取有效的简化措施.
为此,可以将分形图形计算机生成实现参数化设计,只要改变少量的参数便能够得到不同的相似图形.参数化技术可以使设计人员跳过复杂的数学理论、计算机算法和编程等问题,可以直接进行创作,得到独具特色的逼真图形.参数化技术大大减少了设计人员的绘制时间,使普通人也能够进行创作,这有利于推广分形技术的应用,具有重要的应用价值.
根据分形几何中的迭代函数系统还可以用来压缩图像信息量,它的压缩比可以达到1/500以上.对于生物、医学及卫星等需要提取和识别图像信息的学科具有重要的应用价值,还能够优化电视和通讯中的图像处理和传输.分形几何学和计算机图形学相结合后,以压缩图像为基础,形成了一个新的研究方向.
4.结束语
分形几何与计算机图形学相结合,已经成为了一个具有重要研究价值的崭新领域.分形几何中,在进行迭代的时候,只要对相关的参数进行少量的更改,就可得到各种不同的图形,选取合适的话,便能够取得复杂逼真的效果.这不仅仅能够得到精美的图案供人欣赏及设计用,而且为研究数学的学者指出了一条启发道路.分形几何的另一个重要领域便是图像压缩,利用分形几何进行绘图的过程是选取关键点过程,反过来的话,根据压缩储存的关键数据点便可以恢复图形,实现图像压缩.分形向人们展示了与众不同的一面,这大大吸引了人们去寻找其中的新规律和新特征,促使人们去探索分形在现实生活中所具有的应用价值.