本站原创【摘 要】本文针对理财这一问题,建立相应的数学模型,通过对模型的求解,让人们了解理财的重要性,从而进行科学的理财,充分利用“钱追钱”的道理,达到事半功倍的效果.
【关 键 词 】Sawage后悔最小法则；Laplace等概率法则；投资方案；收益期望；Wald悲观法则
一、问题的重述
张三计划用RMB100000元用于投资,有两个项目可供选择,按月计算收益,并且,投资是周期性的：下月可投资资金等于本月投资资金+ 投资收益.项目A：投资必须RMB50000元,收益可能是+RMB12000元,或者-RMB5000元；项目B：投资必须RMB48000元,收益可能是+RMB18000元,或者-RMB12000元.问题：请帮张三决策,他应该如何投资,一年后收益最大?
二、问题的分析
通过对题目的分析研究以及小组成员的讨论,发现这个问题属于运筹学中的动态规划决策问题.我们再次分析题目所给的信息,和小组同学经过认真的讨论后,我们发现如果在第一个月通过计算来比较哪种投资项目组合最好,然后再计算第二个月、第三个月,那么接下来的几个月的投资情况是不是有和前几个月类似的规律.这样我们就可以建立相应的数学模型借助计算机来编程进行循环求解,进而可以推广到两年乃至更长时间的投资收益问题,得到科学的理财方案.
三、模型检测设
（1）对方案A,B来说只有达到5万,4.8万或其整数倍时才可进行投资.（2）检测设不考虑当时的经济波动.（3）不考虑投资人的急需用钱的突发状况.
四、符号说明
（1）c表示盈利c元.（2）-c表示亏损c元（其中c表示任意常数）.（3）Q1：前一个项目盈利,后一个项目盈利.（4）Q2：前一个项目盈利,后一个项目亏损》.（5）Q3：前一个项目亏损,后一个项目盈利.（6）Q4：前一个项目亏损,后一个项目亏损.（7）G1：第一个项目盈利,第二个项目盈利,第三个项目盈利.（8）G2：第一个项目盈利,第二个项目盈利,第三个项目亏损.（9）G3：第一个项目盈利,第二个项目亏损,第三个项目亏损.（10）G4：第一个项目亏损,第二个项目亏损,第三个项目亏损.（11）G5：第一个项目亏损,第二个项目盈利,第三个项目盈利.（12）G6：第一个项目亏损,第二个项目亏损,第三个项目盈利.
五、模型的建立
通过对问题的分析,最初的投资资金有10万,最多可以投资两个项目,其中这两个项目可以重复.我们采用了多种方法对前三个月的情况进行分析.首先对第一个月研究：模型建立.
模型一：（1）基本检测设：一是张三是一个乐观的人,对什么事都朝好的方向看.二是由于活期的年利率为0.5%,所以当张三有240000元时,张三的月利息为（0.5%/12）*240000等于100元,所以当张三以活期的形式将小于240000存入银行时其所得的利息和所交的税可忽略不计.三是将张三未投资的钱存入银行.四是正如张三所期望的他的每次投资都获得最大收益.（2）符号说明.x代表本金加上收益；n代表月份；j代表投资B项目的个数；k代表j先前的值.（3）模型建立.在前面这种检测设下,张三最有可能选择B项目进行投资,且尽可能多的投资B项目（4）模型分析.我们可以将上述数据用表格来表示：
所以,张三按图所示的方式进行投资,年末可获得1576000元.
模型二：（1）基本检测设.张三已经退休了,他将这笔钱用于养老.（2）符号说明.X代表收益；Y代表本金加收益；（3）模型建立.根据以上检测设,张三最有可能将这笔钱存入银行,则他最好采用一年的定期存储方式（一年定期存储的年利率为3.5%）,那么他在一年后获得的利息（扣除税）为X等于100000*3.5%*（1-20%）等于2800（元）；Y等于100000+2800等于102800（元）.（4）模型分析.若张三将钱全部存入银行,那么张三在一年后手上的钱为102800元.
模型三：（1）基本检测设：一是张三计划投资这笔钱,可将这笔钱用于A、B项目的投资.二是在计算过程中,将各种项目的各种收益视为等概率事件,例如对A项目而言,获得收益12000元与获得收益-5000元是相等的,各占50%.三是再检测设1下,我们用收益期望来代表张三的收益,例如对A项目而言,它的收益期望为12000*50%+（-5000）*50%等于3500元；四是由于活期的年利率为0.5%,所以当张三有240000元时,张三的月利息为（0.5%/12）*240000等于100元,所以当张三以活期的形式将小于240000存入银行时其所得的利息和所交的税可忽略不计.五是将张三未投资的钱存入银行.（2）符号检测设.x代表本金加上收益；n代表月份；i代表投资A项目的个数；j代表投资B项目的个数；s代表投资A、B项目的总个数；k代表i先前的值.（3）模型建立.步骤一：分别计算A、B项目的收益期望：A项目：12000*50%+（-5000）*50%等于3500元；B项目：18000*50%+（-12000）*50%等于3000元.步骤二：从上面的计算中,我们不难看出投资A项目的收益期望高于B项目的收益期望,且这两种项目的月收益均高于张三将钱全部存入银行一年后所获得收益.所以张三将钱存入银行并不是最优的选择,且A项目投资得越多,期望收益越大.因此,张三营尽量将钱用于A项目的投资.同时,那些未投资的钱将存入银行.步骤三：求解.（4）模型分析.我们可以将上述数据用表格来表示：
所以,张三按图所示的方式进行投资,期望收益最大,为201000元.
六、模型评价
由于题目所给投资的可能获益会出现负值,所以乐观法则显然不可取；再综合考虑实际情况,模型三最具有可行性,且收入可观.
1.乐观法则.期望收益矩阵P.（单位：万元）
在上述收益矩阵P中,3.6等于maxP,对应方案B+B,所以根据乐观法则,应该选择方案B+B.
2.悲观法则.
根据悲观法则,max{行min}等于-0.5,对应方案A+0.
3.Sawage后悔最小法则.
Sawage法则：在最大后悔中取最小,所以应该选择方案A+A
4.Laplace等概率法则.针对本案例期望收益矩阵P,依照Laplce法则,应该选取最大行和对应的方案A+A.综合以上4中方法分析,方案A+A出现的最多,所以第一个月的投资方案应该选取A+A.对于第二个月：同样分析,由于最大的获利不足四点八万所以和第一个月相同.对于第三个月：由于前两个月最大盈利达到4.8万而不足5万,所以在第三个月出现了不同的投资情况.第三个月时最大投资金额可达14.8万元.最大盈利的4.8万元可以用来投资B,也可以什么都不做.（1）乐观法则：
在上述收益矩阵P中,4.2等于maxP,对应方案A+A+B,所以根据乐观法则,应该选择方案A+A+B.（2）悲观法则：
根据悲观法则,max{行min}等于-1,对应方案A+A.（3）Sawage后悔最小法则：
Sawage法则：在最大后悔中取最小,所以应该选择方案A+A+B.（4）Laplace等概率法则.针对本案例期望收益矩阵P,依照Laplce法则,应该选取最大行和对应的方案A+A+B.综合以上4中方法分析,方案A+A+B出现的最多,所以第三个月的投资方案应该选取A+A+B.对前三个月的求解分析我们可以探求其中的规律了.对于可用来投资的本金与收益之和,我们优先考虑投资项目A.可是,如果累积的盈利可以投资B却不够投资A时,与其把钱闲置,不如来投资B,因为经过上述讨论分析A+A+B的方案优于A+A.所以在接下来的几个月中可以此类推.
七、模型求解
通过对前三个月的分析,初步掌握了一定的规律,采用循环法,得到最优解,找到最优的投资方案.通过改变i值就可知道投资多少个月与其相应的收益.