矩阵博士数列周期问题其推广略

摘 要 ：本文对矩阵博士数列周期问题及其推广问题进行了初步探索.

关 键 词 ：矩阵博士；矩阵博士数列周期问题；二阶线性分式递推数列周期问题

一、前言

在文献[1]中美国数学家马丁·加德纳这样描述人称“矩阵博士”的美国博士：“博士对数论、抽象代数有许多精辟之见.虽然他说的话乍一听似乎荒诞不经,可拿事实去验证他所说的离奇现象与规律时,却又发现博士的‘预言’都是正确的”.并以矩阵博士首先发现的以5为循环周期的数列为例介绍说：“请任选两个非0的实数,如π与76,并准备一个袖珍电子计算器.检测定计算器数字长八位,那么,这八位数值就是3.1415926.现在请把第二个数76加上1作为被除数,把第一个数作为除数做一下除法等我们把显示在计算器上的24.509861称为第三数,然后再重复上述过程,把第三数加上1,把第二数作为除数,这就得到了第四数：0.335656,依次类推,可得到第五数、第六数等你将会大吃一惊,原来第六数是3.1415931,略去这一数字后面二位因计算时四舍五入造成差异的小数,它竟和第一数的π相等等我们可以得出结论,5是一个循环周期,第六数与第一数完全一样,第七数与第二数完全一样等这一秘密等引起人们的极大兴趣,引诱人们去探索和研究.”（原文如此,其中多处不妥之处未予更正——笔者注）本文从对这一问题的研究出发进行初步探讨如下.

二、检验

为验证矩阵博士“预言”的正确性,我们按“任选两个非0的实数”这一条件进行多次检验现：在某些情况下“预言”并不正确.例如：当a1等于-1,a2等于7时a3等于-8,a4等于-1,a5等于0,a6等于-1,a7不存在；当a1等于5,a2等于-1时a3等于0,a4等于-1,a5不存在；当a1等于-11,a2等于10时a3等于-1,a4等于0,

a5等于-1,a6不存在.

五、略议

数学教学改革的长期实践表明：具有探索精神的教师是培养出具有探索精神的学生的重要条件.教育部制订实施的《数学课程标准》也要求“教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者”并且“倡导学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”.因此,笔者认为教师必须以正确的态度与科学的方法带头参与数学问题（包括世界数学难题）的及新数学问题的发现的尝试活动,使自己成为学生数学探索的楷模,相关部门应该给予热情的支持与帮助.否则,这些要求都是难以落实的空话.本文与参考文献[2]-[9]是笔者二十余年来的一部分探索成果,供课堂教学改革实践参考.以本文为例,如果把文献[1]介绍给学生并引导学生“探索”、“实践”、“交流”、“自学”自主解决该问题,不仅能激发学生的自主探索、团队协作的精神,而且可以破除对世界数学难题的神秘感、破除对专家的盲目崇拜、不敢超越的消极思维模式,使他们敢于批判和创新.笔者认为这要比“你们青年学生的精力要全部放在现有书本知识的学习上,不要好高骛远去尝试研究世界数学难题,因为全世界那么多顶级数学家几十年甚至上百年都未能解决的难题,凭你们的现有知识是不可能研究出什么结果”的训戒要好.以上意见当否?如有不当之处请同仁不吝赐教.另外,我们的这些成果的取得与中科院数学研究所研究员许以超先生及河南大学孙荣光教授、陈长茂教授及数论专家姚伯华先生的大力支持与激励密不可分,他们多次做出安排,挤出时间对某些重要内容逐字推敲、提出改进意见,在此我们表示诚挚的谢意.