本站原创新加坡是东南亚经济发达的国家,一直以来都非常重视公民的教育.新加坡学生在国际数学和科学评测（TIMSS）中的表现非常优秀,比赛成绩名列前茅.我国于2011年12月推出《义务教育数学课程标准（2011年版）》,新课程标准在原有的基础上进行了适当的修订.本文将我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准2011》）和新加坡《Secondary Mathematics Syllabuses》（以下简称《提纲》）O水平中“统计与概率”领域的内容标准进行分析比较.通过比较研究,发现两者的异同,以期对学习和理解我国《标准2011》“统计与概率”内容有一定的启示作用.
1.新加坡《提纲》简要说明
新加坡《提纲》中以数学问题解决为数学学习的核心,并从知识、技能、过程、态度、元认知五个互相联系的维度来发展数学问题解决能力.数学知识包涵了数字、代数、几何、统计、概率和分析.数学技能包括数值计算,代数运算,空间想象,数据分析,测量,数学运用工具和数学评估判断等程序性技能.数学过程指数学知识的学习和应用过程中的能力,具体包括推理,交流和联系,思维技能和启发,数学应用和数学建模.态度包括对数学和应用数学的信念、学习数学的兴趣和乐趣、欣赏数学美和数学作用的能力、运用数学的信心、解决问题的毅力等.元认知,或者对认知的认知,指意识,一种控制自己思维过程的能力,尤其是问题解决策略的选择和应用,它包括监控自己思维过程和自我监控学习.[2]
2.“统计与概率”内容的介绍
中国《标准2011》的初中阶段为7～9年级,新加坡《提纲》中学阶段为中一到中五,将初中阶段和高中阶段的内容都合在一起.新加坡《提纲》中的中一到中三就相当于中国《标准2011》的为7～9年级.《标准2011》将“统计与概率”内容划分为抽样与数据分析和事件的概率这两个方面；而《提纲》将“统计与概率”内容分为三个方面：数据处理、数据分析、概率.以下是两个课程标准的具体介绍如表1所示.
中国 新加坡
数据收集、整理和描述 ·经历收集、整理、描述和分析数据的活动,了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据.
·体会抽样的必要性,通过实例了解简单随机抽样.
· 会制作扇形统计图,能用统计图直观、有效地描述数据. ·数据收集的方法：测量 、调查、数据分类 、阅读观察的结果或事件的结论
·建构及解释：表格、条形图 、象形图、线状图形 、饼图 、柱状图
·不同形式统计图表的目的、使用、优点和缺点
数据分析 ·理解平均数的意义,能计算中位数、众数、加权平均数,了解它们是数据集中趋势的描述.
·体会刻画数据离散程度的意义,会计算简单数据的方差.
·通过实例,了解频数和频数分布的意义,能画频数直方图,能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息.
·解释和分析：点状分析图和茎叶图
·平均数、众数和中位数等概念
·平均数、众数和中位数的意义和使用
·计算一组数的平均数
·四分位数和百分数
·用值域、四分位差、标准差测量数据
·解释和分析：累积频数图和盒须图
·计算一组数据标准差（分组和未分组）
数据判断与预测 ·体会样本与总体的关系,知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差.
·能解释统计结果,根据结果作出简单的判断和推测,并能进行交流.
·通过表格、折线图、趋势图等,感受随机现象的变化趋势. ·根据统计图表得出简单推论
·用平均数和标准差比较两组数据
事件发生的可能性 ·能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果,以及指定事件发生的所有可能结果,了解事件的概率.
·知道通过大量的重复试验,可以用频率来估计概率. ·概率是作为事件发生机会的衡量
·单个事件的概率（即通过列出一个事件所有可能出现的结果来计算概率）
·简单组合事件的概率
·概率的加法和乘法
·互斥事件和独立事件不包括P（A∪B）等于P（A）+P（B）-P（A∩B）的使用
3.“统计与概率”内容的比较分析
通过比较分析《标准2011》和《提纲》,可以发现文化不同,社会制度不同的两个国家在课程标准的“统计与概率”领域内容有同有异,下面就两者的相同点和不同点进行比较分析.
3.1 相同点
（1）都注重数学“双基”
“双基”是我国教育的传统和特色,我国历来重视学生的基础知识的理解和基本技能的训练.《标准2011》明确指出要理解平均数的意义,能计算中位数、众数、加权平均数；了解事件的概率.[1].而且《标准2011》在“双基”的基础上继续发展,提出“四基”,更强调了“双基”的形成过程和“双基”的深化内涵.《提纲》也提出要学会数据收据的方法,制作分析图表,掌握中位数、众数、平均数和标准差的计算及其意义,要理解概率的意义并会计算概率等,并且《提纲》在总目标中也强调掌握日常生活中必需的数学概念和技能.[2]由此可见新加坡也十分重视基本知识的掌握和基本技能的操作.
（2）均重视学生的“问题解决”能力
两国都十分注重对学生问题解决能力的培养.新加坡《提纲》在总目标中明确强调发展数学思维和问题解决能力,并应用这些能力来构造和解决问题,[2]并且新加坡的数学框架就是将数学问题解决作为数学学习的核心,而数学问题解决能力的发展又依赖于知识、技能、过程、态度和元认知五个维度.《标准2011》在总目标中明确提出要增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力,并将“问题解决”单独列为总目标下的一个方面,要求学生从实例中理解所学概率统计知识的意义,在将所学知识用到实际生活中去解决问题.[1] 3.2 不同点
（1）内容标准的具体目标呈现方式不同
《标准2011》对每个知识内容都提出了详细的要求,用丰富的具体的动词来描述,如“通过实例”、“了解”、“理解”、“体会”、“掌握”、“探索”等,并在此基础上附以丰富的实例说明.《标准2011》这种指标性的呈现方式有利于学生准确的掌握每个知识点,有利于教师更好的把握教学内容,但易于忽视学生的差异性.《提纲》对每个具体点应该掌握到何种程度并没有提出明确的要求,这样的内容标准有利于照顾学生的个性差异,根据学生自己学习能力层次的不同,达到不同的水平；还有利于教学的弹性,有利于对学生创造性的培养.
（2）内容的广度与深度不同
从内容广度上看,两国关于“统计与概率”的基本内容差异不大,大体上《提纲》的内容广度较大.在统计领域,从描述和分析数据的统计图方面分析,《提纲》对涉及的图表比较多,有表格、条形图 、象形图、线状图形 、饼图 、柱状图、点状分析图、茎叶图、累积频数图和盒须图等,而《标准2011》只涉及扇形统计图、频数直方图、表格、折线图等；从分析数据的量方面分析,《提纲》和《标准2011》都要求理解平均数、众数、中位数、方差和标准差等的意义并掌握其计算,但新加坡《提纲》在此基础上还要求用四分位和百分比、四分位差测量数据.在概率领域,《提纲》要求学习的概率内容包括：单个事件的概率、简单组合事件的概率、互斥事件和独立事件等,而《标准2011》则仅要求能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件的结果并计算简单事件概率.由此可见,无论是统计领域还是概率领域,新加坡《提纲》的知识点均多于《标准2011》的知识点.
从内容深度上看,统计部分《标准2011》比较深,概率部分《提纲》比较深.统计部分中《标准2011》要求学生学会抽样,能用图表解释信息,通过样本推断总体、并能根据结果作出判断和推测；[1]《提纲》仅要求能制图、看图解释,并能作简单推论.概率部分中《标准2011》仅要求了解事件的概率,而《提纲》还要求掌握概率的加法和乘法原理.[2].
4.启示
通过对中国《标准2011》和新加坡《提纲》比较分析,得到以下几点启示：
4.1 加强培养数学交流能力,学会合作学习
数学能力除了逻辑思维能力、数学运算能力、空间想象能力和分析问题和解决问题的能力之外,还包括数学交流能力.数学交流能力就是学生发表对问题看法,通过数学交流,学生能更深刻的理解知识,激发学生对数学的兴趣,相互促进,相互提高.合作学习是学生有效学习方式之一,是一种学生在课堂中自己积极探究问题的学习过程,能有效激发学生学习兴趣、提高学习的积极性和主动性,培养学生的创造精神.《提纲》非常注重学生的合作交流能力,在总目标中明确要求发展数学交流能力,并学会合作学习.《标准2011》虽在总目标中强调合作交流的重要性,但在统计与概率这个内容领域中却几乎没有体现,在这方面有待改进.
4.2 加强数学思想方法
中学概率统计中的数学思想可分为特有的数学思想和一般的数学思想,其中特有的数学思想主要有随机思想、统计调查思想、统计推断思想等；一般的数学思想主要有化归思想、模型化思想、数形结合思想等.《标准2011》虽然在总目标中明确提出要培养学生的基本数学思想方法,但在统计与概率这个领域的具体内容中却没有明确指出.数学思想方法属于数学基础知识的升华,是蕴涵在具体的数学知识中的,是数学知识的精髓,也是联系数学各类知识的纽带.要提高学生的数学素养,不仅要使学生掌握数学知识,而且要培养学生的数学的思想方法,使学生学会用数学的方法思考.
4.3 注重数学的现实性
荷兰数学教育家弗赖登塔尔（Hans Freudenthal）提出“现实数学教育”.现实数学教育思想实质是将数学学习与现实生活密切联系起来,学生通过日常生活经验学习数学,把学到的数学知识应用到日常生活中去.[3]加强数学与现实生活的联系,有利于引起学生对数学的兴趣,有利于学生了解数学的价值,有利于培养学生的应用意识.在这点上,《标准2011》和《提纲》的概率与统计领域知识与现实生活联系仍需加强.