数学开放题

开放题是数学教学中的一种新题型,它是相对于传统的封闭题而言的.开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力,激发学生独立思考和创新的意识,这是一种新的教育理念的具体体现.现行数学教材中,习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的,学生在学习中缺乏主动参与的过程.那么在教材还没有提供足够的开放题之前,好的开放题从那里来?我认为最现实的办法是让"封闭"题"开放".

一、开放意识的形成

学习的目的是为了使自然人过渡到社会人、使社会人更好地怎么写作于社会,由于社会时刻在发生着变化,因此,一个良好的社会人必需具备适应社会变化的能力.让学生懂得用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步,学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新方案.因此首先必须改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识,为了使数学适应时代的需要,我们选择了数学开放题作为一个切入口,开放题的引入,促进了数学教育的开放化和个性化,从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力.

关于开放题目前尚无确切的定论,通常是改变命题结构,改变设问方式,增强问题的探索性以及解决问题过程中的多角度思考,对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题.近两年高考题中也出现了开放题的"影子",如1998年第（19）题："关于函数f（x）等于4Sin（2x+%i/3）（x∈R）,有下列命题：①由f（x1）等于f（x2）等于0可得x1-x2必是%i的整数倍；②y等于f（x）的表达式可改写为y等于4Cos（2x-%i/6）：③y等于f（x）的图象关于点（-%i/6,0）对称；④y等于f（x）的图象关于直线x等于-%i/6对称.其中正确的命题是──（注：把你认为正确的命题的序号都填上）"显然《高中代数》上册第184页例4"作函数y等于3Sin（2x+%i/3）的简图."可作为其原型.学生如果明白这些道理就会产生对问题开放的需求,逐步形成自觉的开放意识.又如2000年理19文20题 函数单调性的参数取值范围问题（既有条件开放又有结论的开放,条件上,对-ax≤1 ,是选择 ≥0,还是选择 ≥1?选择前者则得ax+1≥0 ,H!x≥-以后的道路荆棘丛生,而选择后者则有ax+1≥1 ,H!x≥0 ,以后的道路一片光明；结论开放体现在结论分为两段,一段上可使函数单调,另一段上不单调,且证明不单调的方法是寻找反例）；

从数学考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题,已引起了广大数学教育工作者的极大关注,开放题的研究已成为数学教育的一个热点.

二、开放问题的构建

有了开放的意识,加上方法指导,开放才会成为可能.开放问题的构建主要从两个方面进行,其一是问题本身的开放而获得新问题,其二是问题解法的开放而获得新思路.根据创造的三要素："结构、关系、顺序",我们可以为学生构建由"封闭"题"开放"的如下框图模式：

〔例1〕已知a ,b,c∈R+并且a （《高中代数》下册第12页例7）

除教材介绍的方法外,根据目标的结构特征,改变一下考察问题的角度,或同时对目标的结构作些调整、重新组合,可获得如下思路：两点（b,a）、（-m,-m）的连线的斜率大于两点（b,a）、（0,0）的连线的斜率；b个单位溶液中有a个单位溶质,其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度；在数轴上的原点和坐标为1的点处,分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心,位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等.

给变量赋予不同的内涵,就可得出函数不同的解释,我们从物理和经济两个角度出发给出实例.

1.X表示时间（单位：s）,y表示速度（单位：m/s）,开始计时后质点以10/s的初速度作匀加速运动,加速度为2m/s2,5秒钟后质点以20/s的速度作匀速运动,10秒钟后质点以-2m/s2的加速度作匀减速运动,直到质点运动到20秒末停下.

2.季节性服饰在当季即将到来之时,呈上升趋势,设某服饰开始时定价为10元,并且每周（7天）涨价2元,5周后开始保持20元的平稳销售,10周后当季即将过去,平均每周削价2元,直到20周末该服饰不再销售.

函数概念的形成,一般是从具体的实例开始的,但在学习函数时,往往较少考虑实际意义,本题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释,体会到数学概念的一般性和背景的多样性.这是对问题理解上的开放.

〔例3〕由圆x2+y2等于4上任意一点向x轴作垂线.求垂线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程.（《高中平面解析几何》复习参考题二第11题）（答案：x2/4+y2等于1）

问题本身开放：先从问题中分解出一些主要"组件",如：A、"圆x2+y2等于4"；B、"x轴"；C、"线段中点"等.然后对这些"组件"作特殊化、一般化等处理便可获得新问题.

对A而言,圆作为一种特殊的曲线,我们将其重新定位在"曲线"上,那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素,于是改变条件A（大小或形状或位置）就可使问题向三个方向延伸.

如改变位置,将A写成"（x-a）2+（y-b）2等于4",即可得所求的轨迹方程为（x-a）2+（2y-b）2等于4；再将其特殊化（取a等于0）,并进行新的组合便有问题：圆x2+（y-b）2等于4与椭圆x2+（2y-b）2等于4有怎样的位置关系?试说明理由.

当y等于0时,x2+b2等于4,

（1）若b<-2或 b>2,圆与椭圆没有公共点；

（2）若b等于?,圆与椭圆恰有一个公共点；

（3）若 -2

当y等于2b/3时,x2+b2/9等于4,

（1）若b<-6或b>6,圆与椭圆没有公共点；

（2）若b等于?,圆与椭圆恰有一个公共点； （3）若-6

综上所述,圆x2+（y-b）2等于4与椭圆x2+（2y-b）2等于4,当b<-6或b>6时没有公共点；当b等于?时恰有一个公共点；当-6

上面的解法是从"数"着手,也可以从"形"着手分析.

再进一步延伸,得：当b>6时,圆x2+（y-b）2等于4上的点到椭圆x2+（2y-b）2等于4上的点的最大距离是多少?这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化.

对B而言,它是一条特殊的直线,通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点,同样可以使其推广到一般,若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、高考试题.

三、开放问题的探索

开放的行为给上面三个简单的问题注入了新的活力,推陈出"新"、自己给自己出题是人自我意识的回归.开放的过程说白了就是探索的过程.以下以抛物线的焦点弦问题为例来看开放问题的探索.

〔例4〕已知抛物线y2等于2px（p >0） ,过焦点F的直线与抛物线相交于A（x1,y1）,B（x1,y）两点,P（x0,y0）是线段AB的中点；抛物线的准线为l,分别过点A、B、P作x轴的平行线,依次交l于M、N、Q,连接FM、FN、FQ、AQ和BQ（如图）

（1）试尽可能地找出：

（a）点A、B、P的纵、横6个坐标所满足的等量关系；

（b）图中各线段的垂直关系.

（2）如果允许引辅助线,你还能发现哪些结论?

〔分析与解〕（1）（a）点A、B、P的6个坐标x1,y1；x2,y2；x0,y0之间至少有下列等量关系：

① y21等于2px1② y22等于2px2③y1y2等于-p2 ④ x1x2等于-p2/4

⑤ x0等于⑥ y0等于

"所有的画都是以只有3种原色的方式构成的.每当我们把某样东西说成是新的的时候,我们真正谈论的是现有元素独特的存在方式."具备对"封闭"题"开放"的意识的学生,事实上就有了创造意识,这种意识驱动下的实践自然会使创造力得以发展；同时,随着高考命题改革的进一步深入,我想这样的"开放"会在高考中更显示其生命力.

作者简介：李晓,1986.08,现工作单位：内蒙古交通职业技术学院,助教.