本站原创在上期内容中,我们从总体上介绍了研究高考题在高考复习中的作用及重要性.今天,我们将开始系统地研习高考题. 首先,让我们从同学们最熟悉的复习资料——高中数学教材讲起.
高考命题专家一向重视对教材的研究,尤其是新课程改革实施以来,高考试卷中出现了不少以教材中的例题、习题或数学素材为背景的试题.今天,我们主要讨论两个问题：命题专家是如何利用教材命制高考题的?我们该如何利用教材更好地复习?
命题方式一：教材中问题的简单改编
教材中的数学问题内容丰富、层次分明,分例题、练习题、复习参考题等不同部分,对其中的一些问题稍作改编,就能得到高考试题.
例1 （2011年高考数学浙江卷理科第5题） 设实数x,y满足不等式组x+2y-5>0,2x+y-7>0,x≥0,y≥0.若x,y为整数,则3x+4y的最小值是
（A） 14 （B） 16 （C） 17 （D） 19
分析： 例1中的高考题源自人教版A版必修五第89页的例6：求满足约束条件2x+y≥15,x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,y≥0的目标函数z等于x+y的最优解.原题与高考题的解法完全一致,不同之处在于题干中的数值设置有区别,且高考题所求的最优解为整数解,解答时应在临界点处寻求符合条件的整点.
解： 如图1所示,阴影部分即为可行域.由x+2y-5等于0,2x+y-7等于0得x等于3,y等于1.因为点A（3,1）不在可行域内,又x,y为整数,代入点（4,1）与点（3,2）,计算可得过点（4,1）时3x+4y有最小值16,选B.
命题方式二：教材中素材的充分挖掘
例2 （2008年高考数学浙江卷理科第10题） 如图2所示,AB是平面α的斜线段,A为斜足,若点P在平面α内运动,使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是
（A） 圆 （B） 椭圆
（C） 一条直线 （D） 两条平行直线
分析： 例2其实考查了椭圆的本质定义,即椭圆是与圆柱的母线斜交的平面截圆柱所得的截口曲线的轨迹,命题思路源自人教版A版选修2-1第42页“探究与发现”栏目中的《为什么截口曲线是椭圆》一文. 教材是这样描述的：“用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱,得到一条截口曲线.你能够证明截口曲线是椭圆吗?”
如图2所示,因为△ABP的面积为定值,且AB的长度为定值,所以点P到AB的距离为定值,即空间内的点P的轨迹是以AB为轴的圆柱.又点P在平面α上,AB为平面α的斜线段,所以点P的轨迹就是平面α斜截圆柱所得的截口曲线,即椭圆.如果我们熟悉教材内容,就能一眼看出这个问题的本质,并轻而易举地解决问题. 借用赵本山的一句话来形容：“小样,别以为换了件马甲我就不认识你!”
解： 由△ABP的面积与AB的长度为定值可得点P到AB的距离为定值,所以点P的轨迹是以AB为轴的圆柱.又点P在平面α上,AB为平面α的斜线段,所以点P的轨迹是椭圆. 选B.
命题方式三：实际情景在数学模型中的运用
教材中讲到一些抽象的数学模型,命题专家往往会把实际情景和数学模型结合起来,考查数学模型在实际情景中的应用.
例3 （2010年高考数学浙江卷理科第19题） 如图3所示,一个小球从M处投入,通过管道自上而下落到A或B或C. 已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到A,B,C,则分别设为一、二、三等奖.
（1） 已知获得一、二、三等奖的折扣率分别为50%,70%,90%. 记随机变量?孜为获得k （k等于1,2,3）等奖的折扣率,求随机变量?孜的分布列及期望E?孜；
（2） 若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动,记随机变量?浊为获得一等奖或二等奖的人次,求P （?浊等于2）.
分析： 例3涉及独立重复事件与互斥事件的概率运算、随机变量的分布列以及数学期望等知识,其命题背景是人教版A版选修2-3第70页提到的“高尔顿板”. “高尔顿板”是个具有普遍意义的数学模型,教材统计了小球在“高尔顿板”不同出口出现的概率,并画出其正态分布曲线,反映了随机变量的正态分布情况. 例3正是以此为背景,要求计算获奖这个具有实际意义的事件的概率和数学期望问题.试题的命制既在“意料之外”,又在“情理之中”.
解： （1） 由题意得?孜的分布列为：
则E?孜等于×50%+×70%+×90%等于.
（2） 由（1）可知,获得一等奖或二等奖的概率为+等于. 由题意得?浊～B3,,则P（?浊等于2）等于21-等于.
命题方式四：教材中问题结论的应用
教材中很多例题、习题的结论有着深刻的数学背景,如果能在解题时用好这些结论,就很容易找到解题思路,确定解题方法.
例4 （2008年高考数学江苏卷第13题） 满足条件AB等于2,AC等于BC的△ABC的面积的最大值为 .
分析：例4的解题思想源于人教版A版必修2第144页复习参考题B组第2题：已知M（x,y）与两个定点M1,M2距离的比是一个正数m,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形（考虑m等于1和m≠1两种情形）. 在这个问题的结论中,当m≠1时,点M的轨迹是圆.在例4中,点C到点A,B的距离之比为,所以结合教材中的结论可知,点C的轨迹是一个圆.
其实例4有很多解法,我们可以先计算AB边上的高的最大值,再求三角形面积的最大值；也可以将它转化为二次函数的最大值问题,直接计算三角形的面积；还可以根据AC边上的中线长为定值来解决问题. 但无论哪一种方法,都不会比下面的解法更自然、更简洁.
解： 如图4所示,以AB为x轴、AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系. 由题意可得A（-1,0）,B（1,0）. 设C（x,y）,由AC等于BC可得（x+1）2+y2等于2[（x-1）2+y2],整理得（x-3）2+y2等于8,所以点C的轨迹是以（3,0）为圆心、2为半径的圆,所以S△ABCmax等于×2×ymax等于2.