本站原创例1 学校草坪上要空出一块直角三角形的地种花,已知这个直角三角形的两边长分别为4 m和5 m,那么这块直角三角形空地的面积为_______m2.
【错误解答】因为是块直角三角形空地,由勾股定理可得,32+42等于52,所以第三条边长为3 m,此时直角三角形空地的面积：×3×4等于6（m2）.
【错因剖析】由于不能正确理解勾股定理的内涵——两条直角边的平方和等于斜边的平方以及受勾股数3,4,5的影响,导致了错误. 在直角三角形中,要弄清哪个是直角,从而确定哪条是斜边,才能写出正确的勾股定理表达式.
【正确解答】此题要分两种情况：
（1） 当已知的4和5两边中有一条为斜边,则5是斜边,由勾股定理,另一直角边的长为3,此时三角形空地的面积×3×4等于6；
（2） 当已知的4和5两条边都是直角边时,此时三角形空地的面积为×4×5等于10.
故这块直角三角形空地的面积为6 m2或10 m2.
例2 已知,在△ABC中,AB等于20,AC等于15,BC边上的高为12,则BC边的长为_______.
【错误解答】先画出图形（如图1）,在两个直角三角形中分别用勾股定理求BD和CD的长再相加即可.
在Rt△ABD中,由勾股定理得,
BD2等于AB2-AD2等于202-122等于256,则BD等于16；
在Rt△ACD中,由勾股定理得,
CD2等于AC2-AD2等于152-122等于81,则CD等于9.
所以BC等于BD+CD等于16+9等于25.
【错因剖析】从以上过程可看出,其分析问题的思路清晰,在直角三角形中两次利用勾股定理进行计算. 但是由于思维定势影响,就借助了“顺手”画出的∠C为锐角的三角形解决问题,而忽略了钝角三角形其高在形外的这种情形,因此导致漏解. 解决这类无图问题时,在借助图形分析的同时,要考虑解的多种可能性,避免漏解.
【正确解答】此题要分两种情况：
（1） 如图1,在Rt△ABD中,由勾股定理得,
BD2等于AB2-AD2等于202-122等于256,则BD等于16；
在Rt△ACD中,由勾股定理得,
CD2等于AC2-AD2等于152-122等于81,则CD等于9.
所以BC等于BD+CD等于16+9等于25.
（2） 如图2,同（1）可求得BD等于16,CD等于9,所以BC等于BD-CD等于16-9等于7.
综上,BC边的长为25或7.
例3 如图3,等腰△ABC中,AB等于AC
等于10,底边BC等于12,求一腰上的高CH的长.
【错误解答】因为CH⊥AB,在Rt△ACH和Rt△BCH中,由勾股定理得,
AC2-AH2等于CH2,BC2-BH2等于CH2,
因此102-AH2等于CH2,122-BH2等于CH2.
【错因剖析】
该同学借助图形,分析在已知的两个直角三角形中利用勾股定理完全正确. 但是为什么最后这个题做不下去了?因为AH或BH的长度不知道,未知线段多导致其在解题过程中的无序,进而无法求解.
思路1：实际上,因为在两个直角三角形中都无法直接求得CH的长,因此采用间接方法,即设AH等于x,则BH等于10-x,在两个直角三角形中分别表示出公共边CH2即可列方程求得AH,然后再求出CH的长.
解法1：设AH等于x,则BH等于10-x,在Rt△ACH和Rt△BCH中,由勾股定理得,
AC2-AH2等于CH2,BC2-BH2等于CH2,
因此102-x2等于122-（10-x）2,解得x等于.
在Rt△ACH中,由勾股定理得
CH2等于AC2-AH2等于102-2等于,
所以CH等于.
思路2：既然未知量是等腰三角形一腰上的高,腰为已知量,只要先求出面积即可. 因此想到作底边上的高,先求三角形的面积.
解法2：如图4,作
AD⊥BC于点D.
因为AB等于AC,AD⊥BC,所以BD等于CD等于BC等于6.
在Rt△ABD中,由勾股定理得,
AD2等于AB2-BD2等于102-62等于64,所以AD等于8.
因为AD⊥BC,CH⊥AB,
所以S△ABC等于BC·AD等于AB·CH,所以CH等于等于.
例4 如图5所示的一块地,已知AD等于4 m,CD等于3 m,AD⊥DC,AB等于13 m,BC等于12 m,求这块地的面积.
【错误解答】因为AD⊥DC,考虑连接AC,则构造Rt△ACD,从而求得AC长为5,然后用两个直角三角形面积相减得这块地的面积.
在Rt△ACD中,AC2等于CD2+AD2等于32+42
等于25,所以AC等于5.
这块地的面积S等于S△ABC-S△ADC等于AC·BC-AD·CD等于×5×12-×3×4等于30-6
等于24.
【错因剖析】这题的解题过程看起来没有问题,但是“AB等于13 m”的条件难道多余吗?许多同学由于受特征结论及图的影响,直观判断三角形ABC是直角三角形而没有进行推理,导致了错误的发生.
【正确解答】在Rt△ACD中,AC2等于CD2+AD2等于32+42等于25,所以AC等于5.
在△ABC中,由于AC2+BC2等于AB2,所以∠ACB等于90°.
因此这块地的面积S等于S△ABC-S△ADC等于AC·BC-AD·CD等于×5×12-×3×4等于30-6等于24.