本站原创[摘 要 ]数学开放题是在七十年代才开始出现的一种新题型,相对于传统的封闭题而言,其特征是题目的条件不充分,或没有确定的结论,所以其解题策略也是多样的.开放题由于其自身的特征（条件不充分或结论不确定）可以给学生更大的自由思考的空间,从而培养学生创造思维能力.
[关 键 词 ]数学开放题 ；特征；类型； 教学；创新思维
首先从一道高考题谈起.
题目：（1998年全国高考数学试题第18题）.如图1,在直四棱柱A1B1C1D1―ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件_____时,有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形）.
这是一道质量高、能够培养和考查学生创新能力的条件开放题.该题有多种参.充要条件的是填“AC⊥BD”.充分不必要条件的可填“四边形ABCD为正方形”或填“四边形ABCD为菱形”或填AB等于AD“ 且CB等于CD” 或填“AB等于BC且AD等于CD”,即只要所写的条件能使AC⊥BD即可.
数学开放题没有固定的模式可循,它有利于发挥和挖掘学生的创造潜能,学生从不同的角度去分析可得到不同的答案,活跃学生的思维,无疑对学生创新能力的培养具有重要的作用.本文拟就数学开放题的发展、特点、功能及创新教学中如何培养学生的创造性思维做些论述,以供参考.
一、数学开放题的描述
数学开放题是七十年代才开始被人们在理论上所认识的一种新题型,它是相对于传统
的封闭题（条件完备、结论确定）而言的.所谓数学开放题就是指题目条件不完备、解题策略多样化、结论不唯一确定的试题.它与目前教材上所设计的传统的封闭题有不同的特点,开放题的特点是没有固定的模式可循,它有利于发挥和挖掘学生的创造潜能,有利于培养学生思维的独创性和发散性,有利于培养学生的探索开拓精神,所以它越来越受到数学教育人士的关注和研究,特别是近几年来的高考试题都出现了开放题,这表明了数学开放题在测试能力水平、特别是选拔性考试中具有重要的作用.
二、数学开放题的类型
根据思维的形式,数学命题可以分为“检测设――推理――判断”三个部分,因此,一
个数学开放题,若其未知的要素是检测设,则为条件开放题；若其未知的要素是推理,则为策略开放题；若其未知的要素是判断,则为结论开放题：而有的问题只给出了一定的情境,其条件、解题策略和结论都需要解题者在情境中自行设定与寻找,这类题目可称为综合开放题.
三、数学开放题的教学
数学开放题的教学过程是学生主动建构和积极参与的过程,也是学生探索和创造的过
程.数学开放题有助于学生的发展,近几年的高考数学试题为体现《考试说明》对能力考查的要求,主要体现在应用性、开放性和探索性上,所以,在日常课堂教学过程中,适当的引入开放题教学是很有必要的,它可以给课堂带来生机,调动学生学习数学的积极性,提高学生学习数学的兴趣,有利于培养学生的创新能力和探索开拓精神.
如：在《立体几何》的教学中,可根据一道典型例题设计成下面两道开放题.
原题：在正四面体ABCD中,求证AB⊥CD.
本题若隐去其条件正四面体,可设计成条件开放题.
开放题1：四面体ABCD满足条件_____时,AC⊥BD .
本题若隐去其结论AC⊥BD,又可设计成结论开放题.
开放题2：在正四面体ABCD中,试探求有关的角、距离、体积、截面等.（启发学生自己编拟、设计题目,并指出设计的意图、解法）
又如：在现行课本选修2-1《平面解析几何》的教学中,讲完抛物线内容后,可根据课本P70例5,改编设计成下面一道结论开放题.
开放题：如图2,过抛物线y2等于2px（p>0）的焦点F的一条直线和抛物线相交于两个交点A（x1,y1）,B（x2,y2）,由此可得到哪些结果?
分析：这是抛物线类型中比较典型的问题,教学中,教师可启发学生根据抛物线的定义和性质以及综合应用直线知识、韦达定理等得到如下一些结果.
（1）y1y2等于-p2；
（2）x1x2等于p2 4；
（3）AB等于x1+x2+p；
（4）AB等于2p sin2θ（ 为直线 的倾斜角）；
（5）S△ABO等于p2 2sinθ；
（6）∠A′FB′等于90.（A′,B′分别是A,B在抛物线的准线上的射影）；
（7） 1 AF+1 BF等于1 p（定值）；
（8）AB′直线 经过原点O.
再如：在《两角和与差的三角函数》的教学中,教师可提供数学模型tg（a-β）等于tga-tgβ 1+tgatgβ,让学生自己去寻找利用这个公式解决的不同情景的实际问题（这是应用开放题）.
例如：如图3,墙壁上所挂画幅的高AB等于5 3米,画幅的底边离地面8 3米,身高1.8米的人看这幅画,离墙壁多远时才能看得最清楚?
在日常课堂教学中,教师应适时启发学生利用熟悉的基本模型自己编拟、设计开放题,学生在积极参与设计的过程中,主体地位得到了充分发挥,并且有助于克服课本上、资料上传统的封闭题对学生思维带来的定势,这样在不被一种现成模式束缚的情况下,创新能力就得到了很好的培养.