五种柏拉图多面体和电学趣题

更新时间:2024-01-25 作者:用户投稿原创标记本站原创 点赞:15546 浏览:68717

自古希腊开始,画正多边形和正多面体是人们非常感兴趣的问题.当时,人们关心能否用无刻度的直尺和圆规来画出正多边形和正多面体,而如今,利用计算机很容易就可以画出这些图形.

理论上说,正多边形是由直线围出的各边相等、内角也相等的平面图形.这种图形当然有无穷多个.正多边形在三维中的类似物便是正多面体,即由正多边形构成、在顶点处各面及各内角全等的立体.这种正多面体也被称为柏拉图多面体.

柏拉图多面体

柏拉图师从苏格拉底,是古希腊最杰出的哲学家之一,他称正四面体为火、正六面体为土、正八面体为空气、正二十面体为水,并认为包揽上述四个元素的正十二面体是整个宇宙的象征,

柏拉图认为正十二面能体表现宇宙,并宣称:“神为了整个宇宙画出了这个图形!”所以这些正多面体就逐渐地被叫做柏拉图多面体了,

我们可以看出,柏拉图对多面体的理解和数学一点关系也没有,

两千年来,数学家都把柏拉图多面体看做神物崇拜,很少从数学上来研究多面体,直到文艺复兴的时候,人们还这样认为,

到了今天,数学家已不再把柏拉图多面体当作神物崇拜,但这些多面体仍在趣味数学中扮演着多彩的角色.

正多面体有多少个

可能有人认为,这种柏拉图多面体的形状之多是无限的,但实际上,它们“少得令人恼火”,数学家最后发现,正多面体只有五种:四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体,

为什么正多面体这样稀少这种简单的证明可以追溯到欧几里得,

所谓的正多面体,就是各面都是相同的正多边形,交于各顶点的各正多面角都相同,这就要求在正多面体中,交于各顶点的正多边形的数量相同,交于各顶点的各角之和小于360°,这样才能构成正多面体,

比如,利用正三角形可构成正多面体,因正三角形的各内角为60°,60°×3等于180°<360°,所以在每个顶点可以汇聚3个三角形.这样形成的多面体就是如下的正四面体,如图2.

由4个正三角形可以构成正八面体,因60°×4等于240°<360°,所以在各个顶点可以汇聚4个正三角形,两个这样的图形对接在一起,就可以构成如图3的正八面体,

再如图4,各顶点处汇聚5个正三角形,就是60°×5等于300°<360°,就成为正二十面体,但如果一个顶点汇聚6个以上正三角形,其内角和就大于360°,所以不能用6个以上的正三角形构成正多面体,

图5则是利用正四边形构成的正多面体,正四边形的各角为90°,在各顶点相交的四边形最多是3个,这样构成的多面体就是正六面体,也就是立方体,

最后则是正十二面体,由12个正五边形构成,正五边形的各角是108°,那说明各顶点只能有3个正五边形相交,108°×3等于324°<360°,这样就构成了正十二面体,如图6,


关于立方体的趣题

关于正多面体的趣题非常多,比如,这里只讲一个电学趣题,这道题如图7所示,与网状结构有关,

如果该立方体的每条棱上有个电阻,其值为1欧姆,电流由A端流向B端时,整个结构的总电阻有多大你能算一算吗

不是吓唬你哦,据说,电子工程师对这一问题的计算长达数十页,你能用最简单的办法计算吗