本站原创数学大师笛卡尔说：“最重要的知识是关于方法的知识.”常言说：“授之以鱼,不如授之以渔.”这都说明方法的重要性.本文通过对课本上一道普通习题的一题多解的探究,试图挖掘十分丰富的数学思想方法,从而有效地指导学生快速解答中考题.
原题（人教版,九年级上114页3题）如图1,正方形边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,求图中阴影部分的面积.
图1
一、方法1,利用“割补法”将阴影部分直接转化为易于求解的规则图形
简解：如图2,作正方形的两条对角线,易看出阴影部分被分成8个小弓形,再过O作OE⊥AB,则
图2
小弓形面积等于S扇形EAO-S△AEO等于π（）2×-（）2×
∴S阴影等于8S弓等于-a2
方法1应用于下题中：
（河北省2009年中考模拟题）如图3,半圆直径AB等于10,P为AB上一点,点C、D为半圆的三等分点,则阴影部分面积是多少?
图3
简析：此阴影部分可分为弓形和ΔCDP面积,而ΔCDP与ΔCOD面积相等,故S阴影等于S扇形OCD等于.
二、方法2,利用“平移法”将阴影部分直接转化为易于求解的图形
简解：过图1的正方形中心作AD的平行线段把原图形分成上下两块,然后将上一块移到下一块的下面,形成图4,易得
S阴影等于S正方形ABCD-2（S正方形ABCDS圆O）等于2S圆O-S正方形ABCD
小结：平移、旋转、轴对称都属于全等变换,即图形只是位置变,而大小不变.这样,经过适当地改变位置,就能变为易于求解的规则图形.
图4
（2009年衡阳市中考题）如图5,圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起,连接AC、BD.
图5
（1）求证AC等于BD.
（2）若图中阴影部分面积是cm2,OA等于2cm,求OC长.
简析：只考虑（2）,ΔDOB可看作ΔCOA绕O逆时针旋转90°而得到,这样,ΔCOA中的阴影部分可补到ΔDOB中,而成圆环的一部分.
∴（OA2-OC2）等于,解得OC等于1
三、方法3,注重操作过程看“重叠”
简解：图1中的阴影部分可看作将4个直径为AB的半圆平铺在正方形内,四个半圆相重叠的部分.
∴S阴影等于4×（）2π×-a2等于-a2
小结：此方法重点是“动手操作图形”,发现重叠部分,找出它与阴影部分间的关系.
（2009襄樊市中考题）如图6,在RtΔABC中,∠C等于90°,AC等于4,BC等于2,分别以AC、BC为直径画半圆,则图中阴影部分面积为（ ）（结果保留π）
图6
简析：该阴影部分可看作分别将两个半圆平铺在RtΔABC上,多出部分及两者在三角形内重叠部分.即S阴影等于（）2×π×+（）2×π×-等于-4.
四、方法4,利用“列方程组（或方程）”的方法
简解：设图1中的阴影部分面积为y,空白部分面积为x,可列出
x+y等于a2x+y等于（）2×π×
解得y等于-a2
小结：这种方法重点是寻找未知量间的等量关系.
五、方法5,利用“整体思想”
简解：这种方法重点是从大处着眼,将部分合为整体.
图7
可将两个小弓形拼合成一个“小叶片”.如图7,连结AO、BO,则一个小叶片的面积等于S半圆-S△ABO等于-
∴S阴影等于4×（-）等于-a2
也可将上下两个半圆拼成一个整圆,则S空白等于2×（S正方形ABCD-S整圆）,阴影部分进而可求.
（2009长春中考题）如图8,方格纸中,4个小正方形边长均为1,则图中阴影部分三个小扇形面积和为（ ）
简析：此题关键是能看出左边两小扇形的圆心角和为90°.
图8
故三个小扇形面积和为圆心角为135°,半径为1的扇形.
当然,课本中的一道习题不可能包含解决中考问题的全部思想方法.这些思想方法,也不单是只能用于求面积,完全可以应用于其他方面.只要能够以此题为例,深刻挖掘典型例题、习题的内涵,举一反三,就能更好地把握中考动态,为学生提供更多的练习机会,更深刻体会“中考命题源于课本,又高于课本”的命题原则,那么本文的目的就已经达到了.
（责编 赵建荣）