本站原创在整个中学数学学习过程中,几何证明题是较难逾越的一个重点和难点,而几何证明题的重点突破口又是题目的分析方法,所以掌握一定的几何证明题的分析方法显得尤为重要.中学几何题证明方法一般分为直接证明和间接证明两种,有些题目如果直接去证明,不但关系复杂,而且思路繁琐.在应试的过程中很难在较短的时间内解决问题,但当你换一种思路,用间接的方法去考虑,往往能够达到意想不到的效果.间接的证明方法一般又分为两种：一种是反证法,另一种称为同一法（又称统一法）,两种方法各不相同.反证法在教科书中有较为完整的学习体系,而同一法却没有给出明确概念和用法,但教科书中的例题却能经常用到同一法,现就同一法的用法做简单概括说明.
要想用好同一法,就必须先对同一法有较为明确的概念区分,虽然学界对同一法一直存在争议,但王学贤老师曾用集合的观点很好地解释过同一法的实质,大致内容是：每一个数学命题都是由条件和结论两部分构成的,一般的命题可以描述为如果（若）某些对象具有某种性质a,那么（则）它们就具有某种性质b,在这里,条件是“某些对象具有性质a”,结论是“它们具有性质b”,如果把具有性质a的对象集合记作A,把具有性质b的对象集合记作B,把某些对象中任一对象记作x,则x∈A.若原命题是真命题,则x∈B.因此,命题用集合描述就是：A是B的子集,即A B.同样,其逆命题就是B A.显然A不一定等于B,即原命题成立,逆命题不一定成立,但当集合A仅含有一个元素m,集合B也仅含有一个元素n时,A等于B,此时,原命题成立,其逆命题也必然成立.因此,得到下述基本原理：如果一个命题的条件和结论所指的对象都唯一存在时,则原命题、逆命题等价,这个基本原理叫做同一原理.例如“等腰三角形顶角的平分线是底边的中垂线”就符合同一原理.当一个命题符合同一原理,且直接证明比较困难时,可转而证明它的逆命题,这种证明方法就是同一法.具体的做法是：欲让某个图形A具有某种性质B时,先构造一个具有性质B的图形A′,然后证明图形A′就是图形A,实质上是用证明逆命题来间接证明原命题的正确.下面通过几个例题更加清楚地来认识同一法.
例1：如图1所示,E是正方形ABCD内部的一点,∠ECD等于∠EDC等于15°.求证：△EAB是等边三角形.
分析：因为在正方形ABCD内部使得∠ECD等于∠EDC等于15°的点唯一存在.同样,在正方形ABCD内部以AB为边的等边三角形也唯一存在,因此,此题符合同一原理,可以用同一法来证明.
证明：以AB为边,在正方形ABCD内作等边三角形E′AB,连接E′C、E′D.
∵E′A等于E′B等于AB等于DA等于CB.
∴∠CBE′等于90°-60°等于30°,∠BCE′等于（180°-30°）÷2等于75°.
∴∠E′CD等于90°-75°等于15°.
由此可见,E′和E实际上是同一点,故△EAB是等边三角形.
例2：如果一条直线截三角形的两边所得的线段对应成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.
分析：如图2所示,在△ABC中,若AB边上D点确
定,则在AC边上满足 的E点唯一确定,从而DE
也唯一确定,另一方面,过D点平行于BC边的平行线唯一存在,因此此题符合同一原理,可先作DE′∥BC,然后证明DE′和DE重合即可.
证明：过D作DE′∥BC,交AC于E′.
在△ABC中,∵DE′∥BC,∴ .
又 ,∴ ,则 .
即 ,∴AE′等于AE.
故E′和E重合,DE′和DE重合.
∵DE′∥BC,∴DE∥BC.
例3：如图3所示,梯形ABCD中,AD∥BC,AD+BC等于AB,F是CD的中点.求证：∠DAB的平分线过点F.
分析：只要连接AF,证明AF平分∠DAB,或作∠DAB的平分线于DC相交于点F,证明F是DC的中点即可.
证明：连接AF并延长与BC的延长线相交于点E.
∵梯形ABCD,∴AD∥BC,∠D等于∠ECF.
又∵∠AFD等于∠EFC,DF等于CF.∴△ADF≌△ECF,∠E等于∠DAF,AD等于CE,即BE等于BC+CE等于BC+AD.
又∵AD+BC等于AB.∴AB等于BE,∠E等于∠BAE,∠DAF等于∠BAE,即AE平分∠BAD.
又∵AE过F点,∴∠DAB的平分线过点F.
例4：如图4所示,在三角形ABC中,M为线段AB
的中点,D为AB上的另一点,连接CD,N为CD的中点,P为BC的中点,连接MN,Q为MN的中点,试证明直线PQ平分线段AD.
分析：因为过P、Q两点的直线与AD的交点和AD的中点都唯一存在,所以题目符合同一原理,若直接证明,因关系复杂难以证明,因此可采用同一法证明,欲证直线PQ平分AD,可先取AD的中点为E,然后证明P、Q、E三点共线即可.
证明：取AD的中点为E,连接NE、PM、NP.
∵AE等于ED,DN等于NC.
∴EN∥AC且EN等于 AC.
同理可证,PM∥AC且PM等于 AC.
∴EN∥PM且EN等于PM,四边形PNEM为平行四边形.
连结PE,因为Q是MN的中点,所以对角线PE必过Q点,即P、Q、E三点共线.
∴直接PQ必平分AC.
通过上面几个例题中可以看出,要想能够正确快捷地利用同一法解决几何题,首先要能够快速地判断出题目是否符合同一原理,只有在符合同一原理的情况下才能够运用此法.实际上,同一法的根据是原命题和逆命题等价,通过证明逆命题正确来判定原命题正确,这一点要与反证法注意区分开.任何命题的原命题与逆否命题都是等价的,而反证法是通过证明逆命题的正确来判断原命题的正确,所以从理论上讲,任何命题都可以用反证法来证,能用同一法证明的题目都可用反证法证,而同一法只适用于一些特殊命题的证明.
〔责任编辑：骆虢〕