波利亚指出“中学数学教学首要的任务就是加强解题训练”.笔者以2011年一道高考题解题教学为例,尝试运用“解题化归论”的解题规律,探究一题多解的思路形成过程,旨在对“数学解题学”的实践性进行探索..
【题目】(2011年高考全国卷理科21)已知O为坐标原点,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为的直线l与C交于A、B两点,点P满足.(I) 证明:点P在C上;(II)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一个圆上.
一、理解题意
【问题1】题目的条件是什么?一共有几个?其数学含义如何?
学生1:严格说已知3大条件,椭圆C、直线l的斜率和.焦点F是椭圆内在的.椭圆C是焦点在y轴上的标准形式,直线l与椭圆相交,给出了A、B、C三点的坐标关系.
学生2:所给图形也是条件,是图形语言,明确给出了所给点、直线及椭圆的具体位置,在第五章见过,O是△ABP的重心.
【问题2】题目的结论是什么?一共有几个?其数学含义如何?
学生3:点P在C上和A、P、B、Q四点共圆,共两个含义.是点P的坐标满足椭圆方程;A、P、B、Q四点确定的四边形是圆内接四边形.
通过这样的审题过程,不仅加深了学生对已知与结论的正确理解、对问题知识结构的深刻认识,也有利于学生分析问题、解决问题能力的培养,是形成解题思路的关键所在.
二、制定解题计划
【问题3】对于题目第1问,你是否见过相同的问题而形式稍有不同?第2问呢?请大家构思一下解题思路.
学生4:第1问是我们平时做的常规题.要求出点P的坐标,由于,则只要求得点A、B的坐标,为此,须求直线l的方程,而由斜截式即可得;再将点P的坐标代入椭圆方程验证.第2问,由点P的坐标可以写出点Q的坐标,这样四个点的坐标都知道了,只要求出△ABP的外接圆方程.而这是我们熟悉的题目,把点Q的坐标代入验证就能证明它们共圆.
解题思路的探求过程就是在元认知的基础上找出新思路的认知过程.通过分析找到了解题途径,就要考虑怎样实施解题,先做什么、后做什么、再做什么,分几个层次完成,整体上要有个解题计划.
三、实现解题计划
教师:请大家试一试,写出规范的解题过程.
展示学生的解法如下:
【证法1】(I)由 得F(0,1),所以直线l的方程为.
设A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x3,y3),
由 得等
解得,
所以,由知
,,所以,又,即点P在C上.
(II)由上可得,设过A、B、P三点的圆的方程为,则
解之,得.所以△ABP的外接圆方程是.
又,所以点也在该圆上,即A、P、B、Q四点在同一个圆上.
反思解题过程,探究更多解法
得出解题答案并不是解题教学的终止,解题后的反思是提升解题能力不可或缺的重要组成.下面就自己带领学生反思解题过程的心智历程和得到的其他解法予以展示.
教师:做的很好!在第一问你是怎么想到要联立方程组的?
学生5:要求点A、B的坐标啊,这样就能求出点P的坐标.噢(顿悟),可以不解方程,用韦达定理直接就能写出x1+x2、y1+y2的值,但第2问中要求三角形外接圆的方程就没法做了呀!
教师:你的全局观念很好,考虑到要求外接圆方程的话就必须得求点A、B的坐标.看看大家有没有其他解法?
经过展示发现,第2问几乎没有学生用其他方法完整证出的.
第1问主要的证法有:
【证法2】(I)直线l的方程为.
由 得.
设A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x3,y3),
由韦达定理可知,
所以.
以下过程同证法1.
【证法3】(I)因为,所以P为△APB的重心,
则,其他过程同证法2.
教师:证法2、3的共同点是什么?采取了哪些策略?
学生6:联立方程组,运用方程的思想,采取“设而不求”的办法.
追问:哪些题目可以采用“设而不求”的办法?你能举例吗?
凡是运算的式子中能把x1+x2、x1x2、y1+y2、y1y2整体代入达到消元的都可以采用“设而不求”,比如求圆锥曲线的中点弦问题就是用这种办法的.
追问:你提到了“设而不求”、“消元”,那么本题中要是不联立直线l与椭圆的方程你还能采用这种策略解题吗?
大家又一次认真地观察着、演算着.突然一学生兴奋地说:“点差法!”
以下又研究了用“点差法”解(I);之后教师又引导学生探究了第(II)问的其他四种证法(具体过程略).
[参考文献]
1.罗增儒《中学数学解题的理论与实践》[M](广西教育出版社 2008.9)
2.罗增儒《数学解题学引论》[M](陕西师范大学出版社 1997)
(作者单位:甘肃省庆阳市第六中学)