本站原创圆锥曲线是历年高考的一个重点和热点,纵观近几年的双曲线部分的高考试题,虽然试题模式不一,变化多端,但许多试题在教材中都能找到它们的影子, 下面我们通过课本探究题及其变式进行剖析,来探究高考试题的踪迹.
例1.（人教A版（1-1）2.2.1 探究）点A,B的坐标分别是（-5,0）,（5,0）,直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为,试求点M的轨迹方程,并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状,与2.1例3比较,你有什么发现?
分析：设点M的坐标为（x,y）,则直线AM,BM的斜率分别为
kAM等于（x≠-5）,kBM等于（x≠-5）
由已知有·等于（x≠±5）
化简,得点M的轨迹议程为 -等于1（x≠±5）
故点M的轨迹为除去A,B两点的双曲线.
与2.1例3比较可知,若直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-,则点M的轨迹为除去A,B两点的椭圆；若直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为,则点M的轨迹为除去A,B两点的双曲线.
变式1：将A,B的坐标分别改为（a,0）, （-a,0）,（a>0,0）,将改为（a2≠b2）,求点M的轨迹.
变式2：将A,B的坐标分别改为（a,0）,（-a,0）,（a>0,0）,将改为-（a2≠b2）,求点M的轨迹.
变式3：（2011年高考湖北卷文21）平面内与两定点A1（-a,0）、A2（a,0）（a>0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.
求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值得关系.
分析：设动点为M,其坐标为（x,y）,当x≠±a时,由已知可得
kAM·kAM等于·等于等于m即mx2-y2等于ma2（x≠±a）
因为A1（-a,0）、A2（a,0）的坐标满足mx2-y2等于ma2,所以曲线C的方程为mx2-y2等于ma2
当m<-1时,C是焦点在 y轴上的椭圆；
当m等于-1时,C是圆心中原点的圆；
当-1 当m>0时 ,C是焦点在 x轴上的双曲线. 例2.（人教A版（1-1）习题2.3A组第3题）：已知抛物线y2等于2px（p>0）上一点M与焦点F的距离MF等于2p,求点M的坐标. 点拨：利用抛物线的定义建立抛物线上的点、焦点、准线三者之间的联系,将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离. 解：设点M的坐标为（x0,y0）, 则由抛物线的定义可知MF等于x0+等于2p,解得：x0等于 所以y等于2px等于2（p>0）解得y等于±p 故点P的坐标为（,±p） 评注：对于与抛物线的焦点有关的“弦”问题,能用好抛物线的定义,采用“焦点转准线”的策略,是此类问题求解的常用方法. 变式1：已知抛物线y2等于2px（p>0）上一点M与焦点的距离MF等于2p,求点M到y轴的距离. 解析：该题本质上就是求点M的横坐标的绝对值,借助例题的求解思路,设M（x0,y0）,由抛物线的定义可知MF等于x0+等于2p,解得：x0等于,即点M到y轴的距离为. 变式2：已知抛物线y2等于x上一点P到y轴的距离,则点P到抛物线焦点的距离是（ ） A. B. C.3 D.4 点拨：此题实际上就是调换了变式1的条件和问题,借助变式1的解题思路,易知选C. 变式3：（2011年高考辽宁卷）已知F是抛物线的焦点,A,B是该抛物线上的两点,AF+BF等于3,则线段AB的中点到y轴的距离为 （ ） A. B.1 C. D. 解析：该高考题可谓是对教材习题、变式1的“深化”考查,借助教材习题的解题思路. 由y2等于x,可知等于 又AF+BF等于3, 所以点A到y轴的距离与点B到y轴的距离之和为 AF+BF-2×等于3-等于 再利用梯形中位数的知识可知线段AB的中点到y轴的距离为×等于.故选C. 变式小语：（1）抛物线是由到定点（焦点）的距离等于到定直线（准线）的距离相等的点构成的,利用抛物线的定义解题是基本方法,一定要灵活掌握.（2）变式3是2011年的高考试题,充分体现了高考重视基础,回归教材的原则,因此同学们在学习过程中一定要做个有心人,加强对教材核心概念的理解. （责编 高伟）