初中生会做的高考代数题探究

摘 要：本文例举了一些初中生也能够解决的高考代数题,供初中生生参考.

关 键 词 ：初中生；高考代数

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】1671-8437（2012）02-0077-02

初中生也能解高考代数试题,现举数例说明如下,供初中师生参考.

一、解概率问题

例1：（2010年江苏高考试题）盒子里共有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机摸出两只球,则它们颜色不同的概率是 .

解：设3只白球,1只黑球分别为a、b、c、d,则从中随机摸出两只球共有（a,b）（a,c）（a,d）,（b,c）,（b,d）（c,d）这六种等可能的结果,其中颜色不同的共有（a,d）（b,d）（c,d）这3种可能,所以从中随机摸出两只球,则它们颜色不同的概率是等于.

【点评】这道概率问题,初中生可应用枚举法、列表法或画树状图,列出所有等可能的结果,去求出事件发生的概率,解题不难,易于接受.

二、解不等式问题

例2：（2010年江西高考试题）解不等式：>.

解：此不等式要能成立,只能是：<0.而<0说明x-2与x符合相反.

（i）x-2>0x<0圯x>2x<0矛盾,舍去,（ii） x-2<0x>0?圯0

∴原不等式的解为0

【点评】这道试题主要考查了学生如何解绝对值不等式,问题比较简单,只要理清绝对值的含义,问题很容易解决,解题的关键是如何去掉绝对值符号.

三、解最值问题

例3：（2005年重庆高考试题）已知x,y∈R且x+y-4等于0,求S等于x2+y2的最小值.

解：

∵ x+y-4等于0 ∴ y等于4-x

∴S等于x2+y2等于x2+（4-x）2等于2x2-8x+16等于2（x2-4x+8）

等于2[（x-2）2+4]等于2（x-2）2+8,故当x等于2时,S有最小值8.

【点评】本题求解关键在于通过等式变形,求得二次函数解析式,然后应用配方法去求最小值.

四、解统计问题

例4：（2004年全国高考试题）某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用有边的条形图表示,根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）.

A、0.6小时 B、0.9小时 C、1.0小时 D、1.5小时

解：如图1,由条形统计图可知,每天课外阅读时间为0、0.5、1.0、1.5、2.0小时的人数分别为5、20、10、10、5人,从而有（0×5+0.5×20+1.0×10+1.5×10+2.0×5）÷50等于0.9小时 故应选B.

【点评】在初中范围内研究过的统计图有扇形统计图、条形统计图、

折线统计图、频率（频数）分布直方图,本题考查学生从条形统计图中获取信息进行求解.

五、解求和问题

例5：（2008年广东高考题）

计算S等于+++等++等

分析：初看起来,这是一道涉及数列和极限的高考题,对初中学生来说是难以解答的,然而,我们注意到：是1的一半,等于是的一半,等于是的一半等联想到一个正方形纸片对折、对折后再对折,如此不停地反复折下去,每一次对折,纸片就缩小一半的折纸游戏如图2,为此,我们就可以通过构造一个边长为1的正方形,利用图形提示的规律来计算,另一方面,我们注意到线段是中心对称图形,仿照构造正方形的方法,我们还可以构造一条长度为1的线段,每次取一半,依次进行求解,上述两种方法对初中学生来说都能够理解.

除此之外,我们还可以运用初中数学中的方程思想及等比性质定理求解,总之,只要多思考、勤动脑,就可以得到多种巧妙解法,而且每种解法中都闪烁着智慧的火花,让你回味无穷,其乐融融.

下面就将各种解法介绍如下：

解1（构造正方形法）

构造一个边长为1的正方形,则其面积S为1平方单位,由图1知,S1等于,S2等于等于,S3等于等于,等,Sn等于

因为S1+S2+S3+等+Sn+等等于S

所以S等于+++等++等等于1

解2（构造线段法）

将一条长度是1的线段AB按照图3的方式分成首尾相连的无数条线段AC、CD、DE等,使它们的长度分别是,,

,等,那么所有线段的长度之和是1,即：

+++等++等等于1

解3（构造方程法）

设S等于+++等+等于（1+++等+）

等于（1+S-）,

即S等于（1+S+）, 2S等于1+S-, S等于1-

∴ 1-+等于1

∴ +++等++等等于1.

解4（等比性质法）

∵ 等于,等于,等于,等于,

∴ 由等比性质得等于,

即 等于, 2S-1等于S-, 所以S等于1-

∴ 1-+等于1

∴ +++等++等等于1.

除此之外,我们还可以设计其他图形如图4、图5、图6、图7、图8来解决这个问题.

以上方法不同,但最终的结果是一样的,同学们可以思考一下,还有其他方法吗?

【点评】解决此题的关键是构造法和等比性质法.

综上所述可知：在教学过程中,注意对高考题“解法发散思维”的研究讨论,符合新课程关于“等培养学生思维水平等”的理念要求,有利于学生理解课本内容,了解新高考试题的题型,有利于启迪学生思维、拓宽学生视野,提高学习效率和综合运用知识的解题能力,对于培养学生的探索精神和创新意识,将会产生积极的作用.故笔者认为：加强这类专题的研究,很有必要.

教学实践表明：随着新课程改革的全面推进,越来越重视创新意识的培养,越来越重视创新能力的考查,因此笔者认为：作为初中数学教师,不仅在教学过程中要仔细研究教材教法,而且还要认真研究课本中的习题和例题的应用及高考试题,这不仅符合新课程改革创新的理念要求,而且有助于提高教师自身的数学素质,有助于引导学生提高对数学问题研究的深度、广度和高度,有助于帮助学生理解课本内容,融会贯通“双基”,有助于启迪思维、开阔视野,提高学习效率,提高教学质量.