本站原创摘 要 ：本文介绍凸函数在证明詹森（Jensen）不等式、霍尔得（Holder）不等式、闵可夫斯基（Minkowski）不等式、哈达马（Hadamard）定理的简单应用.
关 键 词 ：凸函数；不等式；Jensen不等式
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）04-0117-02
凸函数是高等数学及数学分析中的一个重要概念.凸函数本身有着许多很好的性质,掌握和利用好这些性质,能是一些较复杂的问题简单化.本文通过几个实例来说明凸函数在数学分析的一些证明题种的应用.凸函数的定义在不同版本定义有差别,本文采用的定义1：设f（x）在区间I上有定义,f（x）在I上称为凸函数,当且仅当：?坌x1,x2∈I,?坌λ∈（0,1）有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）.
一、利用凸函数证明詹森（Jensen）不等式
若f（x）为区间I上的凸函数,则对任意
xi∈[a,b],λi>0（i等于1,2等,n）,λi等于1
有fλixi≤λif（xi） （1）
证：应用数学归纳法.当n等于2时,由定义1命题显然成立.
设n等于k时命题成立.即对任意x1,x2,等,xk∈[a,b]及αi>0,i等于1,2,等,k,αi等于1,都有fλixi≤αif（xi）
现设n等于k+1,?坌x1,x2,等,xk,xk+1∈[a,b]及λi>（i等于1,2,等,k+1）,λi等于1
令αi等于,i等于1,2,等k,则αi等于1.由数学归纳法检测设可推得：
f（λ1x1+λ2x2+等+λkxk+λk+1xk+1）
等于f（1-λk+1）+λk+1xk+1≤（1-λk+1）f（α1x1
+α2x2+等+αkxk）+λk+1f（xk+1）≤（1-λk+1）[α1f（x1）+α2f（x2）+
等+αkf（xk）]+λk+1f（xk+1）等于（1-λk+1）f（x1）+f（x2）+等+f（xk）+λk+1f（xk+1）等于λk+1f（xk+1）
这就证明了对任何正整数n（≥2）,凸函数f（x）f总有不等式（1）成立.
二、利用凸函数证明霍尔得（Holder）不等式
aibi≤ab （2）
式中ai>0,bi>0,p>1,+等于1
证明：对（2）式两端p次方后,即：
（aibi）p≤ab （3）
令qi等于biq,aibi等于qixi,从而ai等于qix （3）就变为：
（qixi）p≤qxb
因为等于p-1所以问题归结为证明：
（xi）p≤xip） （4）
取pi等于,则又归结为证明：（pixi）p≤pixip
取f（x）等于xp（x>0）,则当p>1时,有fn（x）等于p（p-1）xp-2>0,
因而f（x）是凸函数,而pi>0,且p1+p2+等+pn等于++等+等于1.
由Jensen不等式知（4）式成立,从而结论成立.
三、闵可夫斯基（Minkowski）不等式
设ak>0,bk>0,p>1
求证：（（ak+bk））≤（a）+（b）.
略证：记ck等于ak+bk,则
（a+b）等于ac+bc等于（a）（c）+（b）（c）≤（（a）（c）+（b）（c）
此不等号利用Holder不等式
等于[（a）]+（b）][（ak+bk）]
再注意到1-等于即证.
此不等式又称为距离不等式.当p等于2,n等于3时此式表示三角形中任意一边小于另两边之和,此又称三角不等式.
四、利用凸函数证明哈达马（Hadamard）定理
设f（x）为区间[a,b]上的连续凸函数.试证：?坌x1,x2∈[a,b],x1 f（）≤f（t）dt≤. 证明：令t等于x1+λ（x2-x1）,λ∈（0,1）,则 f（t）dt等于f（x1+λ（x2-x1））dλ （5） 同理,令t等于x2-λ（x2-x1）,亦有 f（t）dt等于f（[x2-λ（x2-x1）]dλ 从而f（t）dt等于f[（x1+λ（x2-x1）+f（x2-λ（x2-x1））]dλ （6） 注意x1+λ（x2-x1）与x2-λ（x2-x1）关于中点对称,由于f（x）是凸函数, [f（x1+λ（x2-x1）+f（x2-λ（x2-x1））]≥f（）. 故由（6）得f（t）dt≥f（）. 另外,由（5）,应用f（x）的凸性, f（t）dt等于f[λx2+（1-λ）x1]dλ ≤[λf（x2）+（1-λ）f（x1）]dλ等于f（x2）·|+f（x1）· [-]|等于 证毕. 值得注意的是Hadamard定理的几何意义非常明显：当 f（x）>0时,曲线f（x）在[x1,x2]上的面积,不小于过点（, f（）的任一直线在[x1,x2]的面积,不大于点（x1,f（x1））与点（x2,f（x2））间的弦在[x1,x2]的面积.