由一道高中数学联赛题起

更新时间:2023-12-18 作者:用户投稿原创标记本站原创 点赞:2856 浏览:7137

1. 试题

(2012年全国高中数学联赛试题)“设f(x)是定义在R上的奇函数,且当≥0时,f(x)等于x2,若对任意的x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立,则实数a的取值范围.”

2 分析

由题意可得f(x)等于x2,(x≥0)

-x2,(x<0),从而可知f(x)是R上的增函数,本题的难点在于不等式f(x+t)≥2f(x)的右边有一个常数2,如何处理这个“2”就显得特别关键了.如果我们注意到无论“x≥0”还是“x<0”都有2f(x)=f(2x),于是不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立f(x+a)≥f(2x)恒成立x+a≥2x恒成立(x∈[a,a+2]),即a≥(2-1)x在x∈[a,a+2]上恒成立,∴ a≥(2-1)(a+2)a≥2.

3. 说明

有一类求参数取值范围的问题,由于其参数含在函数的“f”记号里面,因此,我们必须借助于函数的有关性质和图像特征来脱去“f”记号,从而得到含有该参数的不等式(或不等式组),进而达到求出参数取值范围的目的. 在本题中,我们成功地将2f(x)转化成f(2x)后,就可以利用函数的单调性脱去“f”记号化归为“恒成立”问题来解决了.

4. 再例

例1 设定义在[-2,2]上的偶函数,f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)

分析 本题欲求实数m的取值范围,则需列出关于实数m的不等式或不等式组,很显然要根据函数的单调性来脱去“f”记号,但我们注意到f(x)为[-2,2]上的偶函数,因此有f(1-m)

在这里,我们有效地利用了偶函数的性质,即f(x)等于f(|x|),这样就将范围限制在[0,2]上求解,避免了分类讨论,使解答过程较为简洁自然.

例2 已知函数f(x)等于sinx+5x,x∈(-1,1),且有f(1-a)+f(1-a)<0,求a的取值范围.

分析 本题中f(x)的表达式在这里实质上只起到了帮助我们分析问题的一个切入点,因为本题的实质是利用函数的单调性脱去“f”记号,进而得出关于“a”的不等式(或不等式组),很显然f(x)在x∈(-1,1)上是奇函数和单调增函数,由此得:

在这里,f(x)的表达式是由两个具体函数y等于sinx及y等于5x通过“加”法而合成的,虽说这两个具体的函数都是我们所熟知的,但它们“加”起来之后却是我们所陌生的,于是,从研究函数的性质入手就显得较为自然了.其实,本题中f(x)的表达式还可以有如下的一些形式:f(x)等于4sinx+2x,x∈(-1,1),f(x)等于5sinx+x,x∈(-1,1),等,等等.


例3 已知y等于f(x)是定义在R上的单调函数,实数λ≠-1,α等于λ1+λ,β等于11+λ,若|f(α)-f(β)|>|f(1)-f(0)|,求实数λ的取值范围.

分析 本题的难点在于|f(α)-f(β)|>|f(1)-f(0)|,即不等式的左右两边不是关于“f”记号的单项式,因而不能像例1和例2一样直接地利用函数的单调性来脱去“f”记号,但若我们注意到α+β2等于1+02,即由α,β所构成的区间与由0,1所构成的区间有相同的中点,根据函数图像的特征有|f(α)-f(β)|>|f(1)-f(0)||α-β|>|1-0|,进一步又有|λ1|>|λ+1|,从而λ<0且λ≠-1.

【高考链接】(2005年辽宁卷理)已知y等于f(x)是定义在R上的单调函数,实数x1≠x2,λ≠-1,α等于x1+λx21+λ,β等于x2+λx11+λ. 若|f(x1)-f(x2)|<|f(α)-f(β)|,则实数λ的取值范围是5. 小结

由上面的“分析”、“说明”及“再例”使我们看到,当所求参数含在函数的“f”记号里面时,我们往往可以从函数的性质(主要是函数的单调性)入手,结合所给函数的图像特征,脱去函数的“f”记号,从而得到关于该参数的不等式(组)来完成解答.