本站原创圆锥曲线是高中数学的重要内容,又是高考重点考查的内容,其特点是概念多、内容广、运算量大、综合性强.学生在解决这类问题时常常会出现一些错误,下面就学生经常出现的几个错误加以归类总结,供读者参考.
一、对定义的理解不到位
例1 平面内一点M到两定点F1（0,-5）、F2（0,5）的距离之和为10,则M点的轨迹为（ ）.
A.椭圆 B.圆
C.直线 D.线段
【错解】根据椭圆的定义,M点的轨迹为椭圆,故选A.
【剖析】在椭圆的定义中,点M到两定点F1、F2的距离之和必须大于两定点的距离,|MF1|+|MF2|>|F1F2|,亦即2a>2c.而本题中|MF1|+|MF2|等于|F1F2|,所以,点M的轨迹不为椭圆,而是线段F1F2.
【解】因为点M到两定点F1、F2的距离之和为|F1F2|,所以点M的轨迹是线段F1F2,故选D.
二、对范围的判断不准确
例2 已知曲线C∶y等于与直线l∶y等于-x+m仅有一个公共点,求m的范围.
【错解】曲线C∶y等于可化为x2+4y2等于20①,联立y等于-x+mx2+4y2等于20,得5x2-8mx+4m2-20等于0,由Δ等于0,得m等于±5.
【剖析】方程①与原方程并不等价,应加上y∈[0,+∞）.故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.如右图,结合图形易求得m的范围为m等于5或-2≤m<2.
三、对焦点位置的注意不够
例3 已知椭圆的焦点在坐标轴上,且过点A（5,4）,离心率e等于,求此椭圆的标准方程.
【错解】设椭圆的标准方程为+等于1（a>b>0）,则有+等于1等于b2等于a2-c2,解之得 a2等于50b2等于32 ∴椭圆的标准方程为+等于1
【剖析】题目中只说椭圆的焦点在坐标轴上,但并没有指明焦点在x轴上还是在y轴上,应包括两种情况.而错解只列出焦点在x轴上的情况是不完整的,因此该解题过程是错误的.
【解】（1）当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+等于1（a>b>0）,则由题意得+等于1等于b2等于a2-c2,解之得a2等于50b2等于32
∴椭圆的标准方程为+等于1
（2）当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为+等于1（a>b>0）,则由题意得+等于1等于b2等于a2-c2,解之得a2等于b2等于∴椭圆的标准方程为+等于1.
综上所述,椭圆的标准方程为+等于1或+等于1.
四、忽视交点的存在性
例4 已知双曲线x2-等于1,过点A（1,1）能否作一条直线l,使得该直线与双曲线交于两点P1,P2,且A为线段P1P2的中点?
【错解】设P1,P2的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,则x21-等于1,x22-等于1
两式整体相减得,（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）等于0
而x1+x2等于2,y1+y2等于2,所以2（x1-x2）-（y1-y2）等于0显然x1≠x2,∴等于2于是直线l的方程为y-1等于2（x-1）,即y等于2x-1
【剖析】初看起来,似乎没有错误.其实用“点差法”并不能保证直线与双曲线有两个交点P1,P2.将y等于2x-1代入x2-等于1得2x2-4x+3等于0,其根的判别式Δ等于16-24<0,即直线l与双曲线没有公共点,因此不存在满足条件的直线l.
从以上的例题中不难看出,学习解析几何不仅要培养比较强的计算能力,提高运算的速度和准确性,也要从细节着手,提高对知识掌握的精确性,避免出现不必要的失误.
（作者单位：河南省平顶山市理工学校）