本站原创前苏联教育家奥家涅相说过：“必须重视,很多习题潜在扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性等”因此,教师在课堂教学中强化问题意识,不断变换题目的形式以激发学生的好奇心与求知欲,对活跃课堂气氛,提高课堂效率,对提升学生综合的分析问题与解决问题能力大有裨益.本文以2009年高考数学福建卷文科第22题（I）（Ⅱ）为题源,通过对它的求解、变式、设疑、拓展、迁移等教学环节进一步体现高考题这一宝贵的教学资源在教学中的潜在价值.
一、出示题源
已知直线x-2y+2等于0经过椭圆C：+等于1（a>b>0）的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS、BS与直线l： x等于分别交于M、N两点,
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值.
二、解答题源
师：请分析解题思路.
生1：由已知得,椭圆C的左顶点为A（-2,0）上顶点为D（0,1）,∴a等于2,b等于1,故椭圆C的方程为+y2等于1.
生2：因为MN的长度取决于M,N点在直线l上的位置,M、N点的位置取决于动点S点的位置,S点的位置取决于直线AS的斜率,所以首先建立直线AS的方程,其中k>0,求出M的坐标和S点的坐标,再建立SB的方程,求出其与直线l的交点N的坐标,M、N点纵坐标差的绝对值就是线段MN的长度,是斜率k的函数,最后求MN的长度的最小值.
师：分析得既准确又具有条理性,很好.（多媒体给出本题（Ⅱ）的解答投影）
解：直线AS的斜率k显然存在,且k>0,故可设直线AS的方程为y等于k（x+2）,从而M（,）,由y等于k（x+2）+y2等于1得 （1+4K2）X2+16K2X+16K2-4等于0.设S（x1,y1）,则（-2）x1等于,得x1等于,从而y1等于,即S（,）, 又B（2,0）,∴直线SB为y等于-（x-2）,从而N（,-）,故MN等于+,又k>0,∴MN等于+≥2等于当且仅当等于,即k等于时等号成立,∴k等于时,线段MN的长度的最小值为.
三、变式训练
师：若在椭圆C：+y2等于1的长轴AB上取点Q（,0）,连结SQ交椭圆于T点,那么M,B,T三点会共线吗?
学生纷纷议论：“肯定共线,数据都是凑好的.”多媒体给出变式题.
变式题：点S是椭圆C：+y2等于1上位于x轴上方的动点,直线AS与直线l：x等于交于M点,Q（,0）是椭圆长轴AB上的定点,直线SQ与椭圆交于T点,则T,B,M三点是否共线?若共线则给出证明,不共线说明理由.
生3,生4上黑板解答,其余学生在下面完成,教师巡视.10分钟后,生4及一半学生已完成了解答,生3及部分学生尚未能完成解答.
生4的解答如下：
设S（x1,y1）,T（x2,y2）,设直线ST方程为：my等于x-,与椭圆方程C：+y2等于1联立,消x得：（m2+4）y2+my-等于0,y1+y2等于① y1y2等于②
直线AS：y等于（x+2）与直线l：x等于的交点为M,,
直线TB：y等于（x+2）与直线l：x等于的交点设为M′,则
要证明T,B,M三点共线,只需证明M与M′重合,-等于-等于,又因为点S（x1,y1）,T（x2,y2）在直线ST：x-my-等于0上,所以,x1等于my1+,x2等于my2+,所以4y1（x2-2）-y2（x1+2）等于4y1my2--y2my1-等于3my1y2-（y1+y2）③
将① ②代入③得4y1（x2-2）-y2（x1+2）等于0,
即-,所以M与M′重合,所以T,B,M三点共线.
师：请生4再回答两个问题：
（1）为什么设直线ST方程为：my等于x-,而没设成y等于k（x-）?
（2）证明T,B,M三点共线,除了上述证明方法外还有其他证明方法吗?
生4：设成y等于k（x-）也可以,但必须对k不存在的情况验证,而方程my等于x-中已包含垂直于x轴的直线x等于,无需再验证了.
除了上述方法外还有下面三个方法可以证明T,B,M三点共线：
（1）三点中的任一点在另两点确定的直线上；
（2）KBM等于KBN；
（3）与共线.
师：生3与部分学生为什么没有完成的主要原因是在解题思路的设计上存在问题,这部分学生的解题思路是：首先沿用了题源中设置的直线AS的方程,求出S点与M点的坐标,然后建立SQ的方程并求出与椭圆的另一交点的坐标,最后再证明T,B,M三点共线. 其思路虽然正确,但S点的繁琐坐标（,）使得直线SQ方程的进一步繁琐,最终导致无法顺利求解直线SQ与椭圆的交点T的坐标. 从这里我们得到一点启示,即是否能科学地设计解题程序,在很大程度上会影响解题的成败,所以在审题时一定要准确地把握题意,全面分析各量间的相互关系,构建最简思路,否则很可能出现可想而不可解的局面.
四、设疑猜想
师：在解变式题之前,同学们有一番议论说数据是凑好的,不错,是凑好的,否则怎么会三点共线呢?（同学们笑）,那就请同学们仔细观察观察是怎么凑的点.
课堂上一片寂静,同学们沉静在思考中,过了会儿,生5突然脱口而出：×等于22.
师：观察很仔细,能把这个结论推向一般吗?（片刻后）
生6：如果把点Q的横坐标换成t（0 师：这是椭圆的一个性质,根据这个性质,能变换说法再写出其他一些形异质同的性质吗? 学生结合图形分析讨论. 生7 ：A、B是椭圆C：+等于1（a>b>0）的左右顶点, ST为过定点Q（t,0）（0 师：“类比是一个伟大的引路人 （玻利亚语）,我们已经学习过类比推理,知道类比推理是根据两个对象之间在某些方面的相似与相同推演出它们在其他方面也相似或相同,椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线,它们在很多方面相似或相同,你们能把椭圆的这些性质迁移到双曲线和抛物线中去吗?（由于时间关系要求学生对于双曲线的类比性质课后思考,课堂上仅考虑抛物线的类比性质）若将椭圆性质中Q（t,0）点的坐标与直线方程l：x等于中的t换成c,则Q点与直线就成为椭圆的右焦点F（c,0）和右准线l：x等于.因为椭圆、双曲线是有中心的曲线,抛物线是无中心的曲线,所以对于抛物线我们选择焦点与准线来思考类似性质. 学生在教师的启发引导下经过一番思考得到抛物线的一组性质. （1）ST为过抛物线y2等于2px焦点F（,0）的一条动弦,过S作准线x等于-的垂线,垂足为M,则T,O,M三点共线（2001年高考数学理科卷19题）. （2）ST为过抛物线y2等于2px焦点F（,0）的一条动弦,过S,T分别作准线x等于-的垂线,垂足分别为M,N,则直线SN与直线TM交于原点. （3）点S是异于顶点的抛物线y2等于2px上的一个动点,直线SO交准线x等于-于点N,过N点作x轴的平行线交抛物线于T点,则直线ST过焦点F（,0）. （4）ST为过抛物线y2等于2px焦点F（,0）的一条动弦,直线SO交准线x等于-于N,则TN∥x轴.（直线TN与x轴相交于无穷远点） （5）ST为过抛物线y2等于2px焦点F（,0）的一条动弦,直线SO,直线TO分别交准线x等于-于N、M点,则直线,直线TN以及小轴互相平行.（直线,直线TN以及x轴相交于无穷远点） 七、教后感想 1.转变教学观念.教师必须从重教学结果的教学转变为重教学过程的教学,课堂教学要在教师的主导下,启发引导学生自己去发现、体会去探索猜想,在充满智、趣、情的教学活动中,使数学成为学生自己的数学. 2.教会学生进行归纳总结.解题教学不能就题论题,需要对同类或相关的问题进行归纳、总结,找出它们的区别与联系,把握问题的本质,以达到触类旁通举一反三,这样不仅可以使学生学得灵活、学得扎实,同时还能有效地遏制题海战术,提高学习效率. 五、横向拓展