本站原创目录
摘 要(中文)---------------------------------------------------------(2)
摘 要(英文)---------------------------------------------------------(3)
前言---------------------------------------------------------------------(4)
正文
一,数中构形,直观表象,快捷,形象,信息转换---------(5)
二,以形助数,探求解题思路------------------------------------(12)
三,形中思数,探幽发微------------------------------------------(15)
注译---------------------------------------------------------------------(18)
后记--------------------------------------------------------------------------(19)
论文摘 要
数与形是数学中的两个最基本的对象是整个数学发展的两大支柱.学数学离不开形.人们在学习数学的过程中,必须观察,分析对象,研究,了解对象,感知,认识对象,为最终学习数学的概念,发展思维能力奠定基础.在我们现在广泛接触到的常见习题中,代数与几何是常被研究的两类基本对象,我们可以发现,有些代数题往往可以借助图形或坐标轴,使许多抽象概念和数值关系直观而形象化,同时有许多几何问题又可以通过代数方法得到圆满的解决这就是所谓的数形结合的思想方法.数形结合是一种极富数学特点的信息转换是一种重要的数学思想.加强数形结合是提高解题能力的一种重要的思想方法,本文主要通过一些典例阐述"数形结合"的思想在解方程,解,证不等式,以及求最值等问题中的广泛应用,及"数形结合"的思想是如何提高解题能力的.
关 键 词:数,形,数形结合,能力提高.
Papersummary
withafewmoremathisthebasictargetisthetwopillarsofthedevelopmentofmathematics.Schoolmathematicsisimportant.Peopleintheprocessoflearningmathematics,mustobserve,analysetargets,research,understandingaudiences,build,understandthetarget,forthefinalstudymathematicalconcept,thedevelopmentofthinkingabilitytolaythefoundation.Wearenowinwidespreadaccesstothemonconfusion,algebraandgeometryaretwotypesofresearcharebasicitems,wecanfindsomeideasandoftentheycantakeadvantageofgraphicsorcoordinatesaxle,andmanyabstractionvalueandvividvisualrelations,andmanygeometricproblemsandalgebraicmethodscanbesuccesulXieMustThisistheso-calledShuoxingjiegetheway.Shuxingjiegeinformationisahighlymathematicalconversionisanimportantfeatureofmathematicalthinking.Improvedproblem-solvingcapacitystrengtheningShuxingjieheisanimportantmatter,Thiainlythroughsomecodecaseson"Shuxingjiehe"thinkingintheirequation,Xie,permitsinequality,andthemostvaluetothewiderapplicationofsuchissues,And"Shuoxingjiehe"thinkingishowtoenhancethecapacityofrounds.
Keyword:number-shaped,Shuxingjiehe,capacity.
前言:目前国际国内对数形结合思想都做过一些相关探讨,但文章大都仅仅指出和罗列了一系列数形结合思想与高考的重要性,并没有真正系统的从加强数形结合提高解题能力入手探讨这一问题,鉴于上述原因,本人将此论文的选题定在了从数形结合探讨解题能力入手,并试着对出现这种相互锲和,相互联系现象的原因作了大胆的检测设和推理,试图能通过本论文使人们可以从一个更新的角度来审查数形结合思想,在解题中的重要性,以其使人们能对这方面的研究引起更多的重视和必要的关注.
加强数形结合提高解题能力
李红梅
数学是一门研究现实世界中的空间形式和数量关系即研究数与形的科学.数与形是数学中的两个最基本的对象是整个数学发展的两大支柱.学数学离不开形.数是一个抽象的概念,人们往往要借助实物的形来理解抽象的数概念,而对形的观察又扩大了人们的空间知觉.同时,人们在学习数学的过程中,必须观察,分析对象,研究,了解对象,感知,认识对象,为最终学习数学的概念,发展思维能力奠定基础.几何致力于形的研究,因而也可称为形学.欧几里得几何脱离开来自现实世界的实质,而着眼于抽象出来的概念与性质及其相互间的逻辑关系.与之相反,我国古代几何的对象都直接来自现实世界,问题也大都来自实际需要.在我们现在广泛接触到的常见习题中,代数与几何是常被研究的两类基本对象,我们可以发现,有些代数题往往可以借助图形或坐标轴,使许多抽象概念和数值关系直观而形象化,同时有许多几何问题又可以通过代数方法得到圆满的解决这就是所谓的数形结合的思想方法.数形结合是一种极富数学特点的信息转换是一种重要的数学思想.
在教学中,我经常发现:对某些代数,三角问题,学生常常单纯用代数,三角的方法来解,思维常易受阻,推理或
运算过程也比较复杂.经验告诉我们:当寻找解题思路发生困难时,如有可能性,不妨引导学生从数形结合的观点去思考,去探索,当学生困惑于"山重水复"时,不妨引导他们从数形结合的观点去开辟新径,当学生对某个结论感到怀疑时,不妨从数形结合的观点去加以验证,用数形结合的方法求解验证,不仅形象直观,思路明快,而且可以减少讨论,解法简捷.从而激发学生对学习数学的兴趣,提高学生的解题能力.
因而,加强数形结合是提高解题能力的一种重要的思想方法,下面本文主要通过一些典例来阐述一下"数形结合"的思想在解方程,解,证不等式,以及求最值等问题中的广泛应用,及"数形结合"的思想是如何提高解题能力的,
数中构形,直观表象,快捷,形象,信息转换:1.利用"数形结合"求函数极值:
例1:已知:求的最小值:
分析:这个代数代数问题是求给定条件下的极值,若令:
这样计算过程较繁,如果用"数形结合"的方法把看成直线5Х﹢12У等于60上的动点P(Х,У)与原点连结成线段的长度,而这个长度的最小值恰是(0,0)到直线的距离,如图(一),这样既直观又简单.
,У)在直线5Х﹢12У-60等于0上,,
例2:求函数的最小值分析:因为
等于:可得三点:(x,1),
(0,1).(2,3)(Ⅰ)
(X,0),(0,1)(2,2)(Ⅱ)
(X,0),(0,1)(2,2)(Ⅲ)
等,象这样由两点间的距离公式可得无数组.选这无数组中任一组来求值,都要比我们用单纯的代数方法求值直观,简单.在这无数组中,哪一组更直观,更简单呢以(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)为例来尝试一下.
(Ⅰ)y等于可取得三点A(0,-2)B(4,-4),(X,1)反映在图二上,这样得出点B关于
y等于1B′(4,6)连结B″A交直线y等于1于C′则Ymax等于
(Ⅱ)y等于可得三点,A(0,3)B(4,5)C(X,0)反映在图三上,这样易得出点B关于X轴对称的B′(4,-5),连结B′A交X轴于C′.
(Ⅱ)y等于中
Ymin等于
(Ⅲ):y等于
可得三点,A(0,-3),B(4,5)C(X,0).反映在图四上连结AB交X轴于C′则:y等于
由以上三例可知选第III组更直观,更简单,其规律是选两定点应在动点所在直线的异侧.
3求f(x)等于-│的最大值.
:f(x)等于-│
等于可得图如下:三点A(1,2),B(2,3),C(x,o)连接CB,CA,AB,直线AB交X轴于C,根据三角形两边之差不大于第三边,,当动点C与C重合时有极大值,
fmax(X)等于,
,也就是求极大值,两定点在动点所在直线的同侧,求极小值,两定点在动点所在直线的异侧.
2.利用数形结合的思想解答不等式问题数形结合便于打开思路,从而培养学生的分析问题和解决问题的能力.
①数形结合解不等式:
例1:解不等式:
解:这可以理解为数轴上到2的距离小于到-3的距离的那些点.结合数轴可知:此不等式的解为:x
例2:解不等式组2cosx-1>,0
tanx-1
解:不等式组可变形为:cosx>,
tanx-1
在单位圆中用弧线画出满足条件的角的范围,找出其交集,得不等式组的解为:
例3:解不等式:
解:原不等式可变形为:,在同一坐标
系中作出函数y等于和y等于x+│x-2│的图象.解方程得:x1等于—1,x2等于,由图象知原不等式的解集为
例4:当a变化时,解不等式.
设:y1等于,y2等于,函数y1等于的图像是以(a,0)为端点,斜率为的向上两组平行射线.函数y2等于的图像是以(0,2)为端点,斜率为的向下的两条射线.
等于,解得:x1等于,x2等于,由图像可知:
(1)当或时,原不等式无解,
(2)当-2<,a<,2时,原不等式的解为:x(-1,+1),
例5:解不等式,
解:设y1等于,y2等于,函数y1等于的图像是中心在原点,焦点在y轴上的半个椭圆,函数y2等于的图象是斜率为1,在y轴上截距为a的直线.
解方程:等于x+a得:x等于或0,观察图象可知:或时,椭圆图象不在直线上方,所以,原不等式的解为:
(2)数形结合,求不等式中参数范围:
例1:当logm1.2logn1.2m和n的大小关系和取值范围.
解:在同一坐标系中作出y等于logmx和y等于lognx的图象,且满足关系式logm1.2logn1.2
由(1)图可得:1〈m〈n,(2)图可得:0〈m〈n〈1,由(3)图可得:0〈n〈1〈m.
例2:若不等式的解为4<,x<,n,求m,n的值,
解:设y1等于,y2等于,在同一坐标系中作出它们的图象,因不等式的解为4<,x<,n所以其交点为A(4,2)和B,A(4,2)在直线y等于2mx+上,m等于,y2等于
又在直线y2等于上.等于,n等于.
例3,当x,求函数f(x)等于恒成立时a的取值范围.
解:设f(x)在[-2,2]上的最小值为g(a),则满足g(a)a的a的范围为所求.
f(x)等于
(1)当即时,如图(1)可得:时,g(a)成立的条件为:
等于等于-4a2,
(2)当-2,即a-4时,如图(2),可得:-2x2时,g(a)a成立的条件是:
a4a4
a
g(a)等于f(-2)等于7-2aaa
综上所述,f(x)a恒成立时,a的取值范围为a[-7,2],
以形助数,探求解题思路:1,数形结合证明不等式,
例1:若a,b,c都是正数,求证:
证明,构造直角梯级折线ABCDEFG,如图,使AB等于FG等于a,BC等于CD等于b,DE等于EF等于c,由勾股定理得:AC等于,CE等于,EG等于,AG等于,
因为折线不短于直线,所以:AC+CE+EGAG,
即:,
例2,已知:f(x)等于,a,b为相异实数,试证:|f(a)-f(b)|<,|a-b|,
证明:构造三角形,使其三边分别为f(a),f(b)和|a-b|,令f(a)等于等于知f(a)表示平面内的点(1,a)到原点的距离,即f(a)等于|OA|,同理f(b)等于|OB|.B点坐标为(1,b),|AB|等于等于|a-b|,根据三角形的两边之差小于第三边有:||OA|-|OB||<,|AB|.|f(a)-f(b)|<,|a-b|.
3.已知,a,b+,且a+b等于1,求证
证明:可构造以,为直角边,以为斜边的直角三角形.由三角形两边之和大于第三边可得:,点评:联想几何模型,以形助数:使题目中的数量关系直观化,解题过程精辟简炼.
例4:已知关于x的实系数二次方程的两个实根,,,证明:1,如果||<,2,||<,2,那么2|a|<,4+b且|b|<,4.
2|a|<,4+b,且|b|<,4,那么||<,2且||<,2.
:设f(x)等于,其图像为开口向上的抛物线.
证明:(1)由||<,2,||<,2及f(x)的图像可知:必有:
f(-2)>,0即4-2a+b等于0
f(2)>,04+2a+b>,0
2|a|<,4+b
同时||<,2,||<,2|,|<,4,即:|b|<,4,
(2)由2|a|<,4+b2a<,4+bf(-2)>,0
2a>,-4-bf(2)>,0
联系f(x)的图像可知,f(x)的两实根都落在(-2,2),之内或者都落在区间(-2,2)之外,若两根,落在(-2,2)之外,则||≥2,||≥2,这与|b|等于||<,4矛盾:α,,均落在区间(-2,2)之内,即,||<,2,||<,4,
评注:借助二次函数的图像,创设解题意境,以形助数.发现特殊抓住本质,找出规律体现解题活的目标意识.
2,数形结合解方程:
例1,解方程:解,原方程化为:
联想椭圆定义.
等于1等于1
利用方程中隐含的形,以形助数,为这类无理方程的求解开辟了新的途径,不仅巩固了椭圆的定义,方程的知识而
且新旧知识相互联系,相互贯通.
例2,已知x1是方程x+lg2等于3的一个根,x是方程的一个根,那么,x1+x2的值是(B),
A,6,B,3,c,2,D,1
解:设f(x)等于lgx,g(x)等于由图可知,x1+x2等于3.故选B.
形中思数,探幽发微.由形思数,把空间形式进行代数化处理.谈化"由形到形"的几何推理,用数量点系刻画事物的本质特征,探幽发微,
拉格郎日说,代数与几何两门学科一且联袂而行,它们就互相以对方吸收新鲜活力,从而大踏步走向各自的完美.对于有些代数问题,如能究掘其潜在的内何背景,将抽象的数字语言与直观的图形结合起来,以形助数,将会使条件和结论隐含的内在联系明朗化,从而发现简捷的方法,提高解题能力.
例1,已知,f(x)等于像图如下,则b的取值范围是:()..(-,0).(0,1).(1,2).(2,+),
f(0)等于d等于0f(1)等于a+b+c等于0
f(2)等于8a+4b+2c等于0
解法二,f(x)等于ax(x-1)(x-2)等于
(待定系数法),得:a等于a,b等于-3a,c等于2d,d等于0,又a>,0b<,0
解法三,d等于0,f(1)等于a+b+c等于0b等于-a-c.
f(-1)等于-a+b-c<,0.2b<,0b<,0
点评:本题是体现了知识的适度延拓,其灵活性在于运用数形结合思想,从观察与捕捉图像特征获取信息的一种思考方法.
在解题中要会联想,根据图形特征,列出有关公式,然后求解,
例2:两个单位圆的圆心距离为1,在第一个圆上取点A,在第二个圆上取关于连心线对称的两点B1,B2,求AB12+AB22的最小值,
分析:由形思数的一个重要工具是平面直角坐标系,本题可考虑以定点o2或01为原点,建立坐标系,从而转形为数,开启思路之门,如下图:
解:以02为原点,建立平面直角坐标系,
则:O1.O2:x2+y2等于1
设A(x0,y0),B1(x1,y1),B2(x1,—y1),
则:AB21+AB22等于(x0—x1)2+(y0—y1)2+(x0—x1)2+(y0+y1)2
等于2(x02+y02)+2(x12+y12)—4x0x1
等于2(x02+y02)—4x0+4x0—4x0x1+2
等于2[(x0—1)2+y20]+4x0(1—x1)
等于2+4x0(1—x1)2,
点评:若以三角为2是,设A(1+,),B1(,),B1(,),则AB12+AB22可化为2+4(1+)(1—)2,
例3:椭圆G的直角坐标方程为:试确定m的
取值范围,使得对于L:Y等于4x+m,椭圆G上有不同两点关于L对称.(方法一)分析:数形结合,寻找隐蔽因素,转化结论.
解:设G上关于直线L对称的不同的两点为p(x1,y1),
Q(x2,y2)则
由此可求得PQ中点的轨迹方程为:y等于3x在椭圆内的部分,为使G上存在关于L对称的两个不同点P,Q,必须是且只须y等于4x+m与y等于3X的交点M在椭圆内部.
由y等于3x
y等于4x+m求得交点M为(-m,-3m)
因为M在G的内部,所以:3(-)+4(-3)≤12
即::
(方法二)解:设PQ中点的轨迹所在的曲线与G交于E,F,由y等于3x
求得:E,F,
若L过点E,由得:m1等于,同理,若L过点F,得:m2等于,为使M在G的内部,由图可知:
例4:在正△ABC外接圆的内任取一点P,连接PA,PB,PC,求证:
(1)PB+PC等于PA
(2)PB·PC等于PA2—AB2
(3)
(4)PA2+AB2+PC2等于2AB2-
分析:此题可以用纯几何方法来分别证明这些结论,但用代数方法可以统一完成,首先由(1),(2)知PB,PC应是一元二次方程x2—PA·X+(PA2—a2)等于0的两个根,其中a为正△ABC的边长,因而有:
PB2-PA·PB+PA2-a2等于0,PC2-PA·PC+PA2-a2等于0,这启示我们用余弦定理.
证明:设正△ABC的边长为a,首先当PB等于PC时可直接验证,当PBPC时,分别在△PAB,△PAC中用余弦
定理得:
AB2等于PA2+PB2-2PA·PB∠APB等于PA2+PB2-PA·PB及
AC2等于PA2+PC2-PA·PC
即:PB2-PA·PB+(PA2-a2)等于0
PC2-PA·PC+(PA2-a2)等于0
这表明PB,PC是二次方程:x2-PA·x+(PA2-a2)等于0
的两个实数根,由韦达定理有:PB+PC等于PA,PB·PC等于PA2-a2,又由方程有实数根,可知:判别式非负:△等于PA-4(PA2-a2)≥0.
即:,
又由(1)和(2)得:PA2等于PB2+PC2+2PB·PC
等于PB2+PC2+2(PA2—a2)
所以:PA2+PB2+PC2等于2AB2
由以上几方面的阐述可知:数形结合,不失为一种巧妙的方法,它与方程和函数思想相结合,使不少代数问题可利用它的几何背景和图形性质,获得独特的解法.在数学中若平时经常注意形与数的结合,抽象与直观的交替的练习,定能有效地开拓思路,培养提高学生的形象思维和逻辑思维的能力,有助于探索解题途径,从而提高学生的解题能力.
注释
①《高考数学能力解题思路与解法》,蔡玉书,南京师范大学出版社.1997,(102-105).
第一章数中构形,直观表象,快捷,形象,信息转换
②《中等教育教学研究》[M],苗国,山西高校联合出版社.1994,(411-413)
第三章形中思数,探幽发微.