本站原创利用数形结合,提高解题能力
南安市金淘中学叶超毅
题记:"数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合百般好,隔离分家万事休."——华罗庚
数学《课标》的总体目标规定:"通过义务教育阶段的数学学习,使学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实,数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能".数学思想方法主要有:方程思想,数形结合思想,分类讨论思想以及化归转化的思想等.本文着重探讨数形结合思想.
在数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗透,数形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系的问题或把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的解题方法.
运用数形结合的思想,就是将抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来,通过图形的认识和数形的转化,使问题化抽象为具体,最终使问题获解.
1,构造法:
例1,求tan15o的值,
思路:构造有15o角的直角三角形,如图在Rt△ABC中,∠C等于900,∠ABC等于300,延长CB到D,使BD等于AB,则∠D等于150.
解:设AC等于x,则BD等于AB等于2x,
∴BC等于x,
∴CD等于(2+)x,
∴tan150等于等于等于2-.
事实上,还有其他方法可求tan150,这样利用构造法求150角的三角函数值,有助于掌握数形结合的数学方法,还有助于开发智力,培养数学思维的灵活性.
2,面积法:
例2,计算:+++++++
这道题是等比数列题,但初中还没学习,学生不懂得运用.把它转化为下列图形,便一目了然:
就是把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形,接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形,再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形,如此进行下去,便可得:
+++++++等于1-等于
同理可求:++++等+等于1-
3,图象法:
数和形是同一事物的两个方面,数是形的高度抽象,形是数的具体体现,数和形可以互相转化,一般说来,依形想数,可使几何问题代数化,由数想形,可使代数问题几何化,这样数形结合相辅相成,既有利于培养解题思想,又有利发展思维能力.
例3:二次函数y等于ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:
c﹤0②b﹥0③4a+2b+c﹥0④(a+c)2﹤b2其中正确的有()
A,1个B,2个C,3个D,4个
4,数形联想法:
数形结合是初中数学中的一种重要的思想方法,有些代数问题看似无从下手,而一旦与图形联系起来考虑,常能得到非常新颖,巧妙的解法.
例4:已知a,b,c,x,y,z,m均为正数,且a+x等于b+y等于c+z等于m,
试证:ay+bz+cx﹤m2
析1:观察求证的结论,使我们联想到矩形和正方形的面积公式,便可构造以m边长的正方形ABCD,如下图:
由图可得:
S正方形ABCD等于m2,
S阴影等于ay+bz+cx
即:S阴影﹤S正方形ABCD
∴ay+bz+cx﹤m2.
析2:由a+x等于b+y等于c+z等于m,便可联想到以m为边长正△EFG,分别在各边上取点H,I,J,使得:EH等于x,FI等于y,GJ等于z,HF等于a,IG等于b,EJ等于c.
由S阴影﹤S正△EFG
又S阴影等于S△HFI+S△GIJ+S△EHJ
等于ay·Sin600+bz·Sin600+cx·Sin600
等于ay+bz+cx
S正△EFG等于m2·Sin600等于m2
∴ay+bz+cx﹤m2
即:ay+bz+cx﹤m2
5,图示法:
例5:设x是实数,y等于,下面四个结论正确的是()
A,y没有最小值,B,只有一个x使y取最小值,
C,有无限个x使y取最小值,D,有有限个x使y取最小值.
解:此题可看作为数轴上存在几个点,使之与A(-1),B(1)两点的距离和最小.如图,线段AB内(包括A,B)的任一点M(x)都满足题意,这时y等于MA+MB等于AB等于2,故选(C).
6,表格与图形结合型:
即利用表格和图形给出信息,这就要求把表格数值信息与图形给出的信息有机结合,从而使问题获解.
例6:把立方体的六个面涂上六种不同颜色,并画上朵数不等的花,各面上的颜色与花的朵数情况列表如下:
颜色红色蓝色白色紫色绿色花的朵数123456
现将上述大小相同,颜色,花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体,如下图所示,那么长方体的下面共有朵花.
解:由上图可知红的对面是绿的,黄的对面是紫的,蓝的对面是白的,所以长方体的下底面的花朵数为:5+2+6+4等于17.
数形结合,不仅是一种重要的解题方法,而且也是一种重要的思维方法,因此,它在中学数学中占有重要的地位."数"和"形"是数学研究的两个侧面,它们互相渗透,相互转化,使得以代数法研究几何,以几何法研究代数成为可能.若能把"数"与"形"很好的结合起来,那么一些看似复杂的问题会迎刃而解.掌握了此方法也会使解题手段从"单一"走向"灵活",体会到数学之美,从而感叹数学之精妙.
(责任编辑潘振南)
2
C
D
B
A
C
z
z
x
c
D
b
a
c
y
B
A
z
c
y
F
E
G
I
H
b
a
J
x
-1
B
1-111111111111
y
0
x
1
MN
A
1
1
x
x等于1
蓝
黄
黄
紫
白
白
红
红
红