本站原创2016年全国初中数学竞赛预赛
试题及参
一,选择题(共6小题,每小题6分,共36分)以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填,多填或错填都得0分)
1.若有理数a,b满足,则等于【】
(A)(B)1(C)0(D)无法确定
【答】A.
解:因为a,b都是有理数,且,所以,且,得,所以.
2.如图,由7个小正方形组成的平面图形折叠(相邻的
两个面垂直)成正方体后,重叠的两个面所标数字是【】
(A)1和7(B)1和6
(C)2和7(D)2和6
【答】B.
解:若将图中标有1的面去掉,则标有2,3,4,5,6,7的六个面恰好是正方体的一种展开图,其中标有3和6的面是对面,只看题图最下面一行,标有3和1的面应是对面,所以重叠的两个面是标有1和6的面,应选B.
3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BD平分∠ABC交AC于点O,AE平分∠CAD交BD于点E,∠ABC等于,∠ACB等于,给出下列结论:
①∠DAE等于,②,③∠AEB等于,
④∠ACD等于.其中一定正确的有【】
(A)4个(B)3个
(C)2个(D)1个
【答】B.
解:(1)∵AD∥BC,∴∠DAE等于,∴①正确,
(2)∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB,∴,∴②正确,
(3)∠AEB等于∠DAE+∠ADB等于∠DAE+∠CBD等于,∴③正确,
(4)∵∠BAC等于,只有当AB∥DC时,∠ACD等于才能成立.∴④不正确.
综上,应选B.
4.如图,直线l1,l2相交于点,l1,l2与x轴分别交于点和,则当时,自变量x的取值范围是【】
(A)(B)
(C)(D)
【答】C.
解:由图象可知当时,,
当时,,所以当时故应选C.
5.关于x的不等式的解集为,则a应满足【】
(A)(B)(C)a≥1(D)a≤1
【答】B.
解:由,得,由不等式的解集为,知,所以,得.故应选B.6.如图的象棋盘中,"卒"从A点走到B点,最短路
径共有【】
(A)14条(B)15条
(C)20条(D)35条
【答】D.
解:如右图,从点A出发,每次向上或向右走一
步,到达每一点的最短路径条数如图中所标数字,如:
到达点P,Q的最短路径条数分别为2和3.以此类推,
到达点B的最短路径条数为35条.选D.
二、填空题(共6小题,每小题6分,共36分)
7.计算:.
【答】.
解:原式等于
8.如图是三个反比例函数,,
在x轴上方的图象,则,,的大小关系为.
【答】.
解:由图象可知为负数,,为正数,不妨取x等于1,代入解析式,显然点在点的正下方,所以,又为负数,所以.
9.有6个小球,其中黑色,红色,绿色各2个,它们除颜色外其它都一样,将它们放入一个不透明的袋子中,充分摇匀后,从中随机摸出2个球,摸出的球颜色一样的概率是.
【答】.
解:摸出的2个球都是黑球的概率是,所以摸出的球颜色一样的概率是.
10.如图,点C是线段AB上一个动点,∠A等于∠B等于30°,∠ADC等于∠BEC等于90°,若AB等于8cm,则CD+CE等于cm.
【答】4.
解:在Rt△ADC中,∠A等于30°,得,同理,所以(cm).
11.关于x的方程的两实数根之积等于,则的值是.
【答】4.
解:由题意得,解得,当时,原方程无实数根,当时,原方程有两个不相等的实数根,所以.
12.计算:
.
【答】.
解:令,则原式等于×
等于等于.
三,解答题(第13题14分,第14题16分,第15题18分,共48分)
13.某单位职工参加市工会组织的健身赛进行列队,已知6人一列少2人,5人一列多2人,4人一列不多不少,请问这个单位参加健身赛的职工至少有几人
【答案】设这个单位参加健身赛的职工有y人,6人,5人,4人一列分别可以整排a,b,c列,则.(a,b,c是正整数)
∴4分
由②,得
因为c为正整数,可令所以(m是正整数)③
将③代入①,得
∴7分
因为b为正整数,可令所以(n是正整数)④
将④代入③,得11分
∴(n是正整数).
当n等于1时,y有最小值52.即参加比赛列队的至少有52人.14分
14.如图,在边长为1的正方形ABCD的边AB上任取一点E(A,B两点除外),过E,B,C三点的圆与BD相交于点H,与正方形ABCD的外角平分线相交于点F,与CD相交于点G.
(1)求证:四边形EFCH是正方形,
(2)设BE等于x,△CGH的面积是y,求y与x的函数解析式,并求y的最大值.
【答案】(1)∵E,B,C,H,F在同一圆上,且∠EBC等于90°,
∴∠EHC等于90°,∠EFC等于90°.2分
又∠FBC等于∠HBC等于45°,∴CF等于CH.4分
∵∠HBF+∠HCF等于180°,∴∠HCF等于90°.6分
∴四边形EFCH是正方形.8分
(2)∵∠GHB+∠GCB等于180°,
∴∠GHB等于90°,由(1)知∠CHE等于90°,
∴∠CHG+∠CHB等于∠EHB+∠CHB.
∴∠CHG等于∠EHB.
∴CG等于BE等于x,∴DG等于.12分
∴△CGH中,CG边上是高为
∴15分
当x等于时,y有最大值.16分
15.数学活动课上,李老师出示了问题:已知,如图①,在△ABC中,∠BAC等于45°,AB等于AC,AD⊥BC,垂足为D,设BD等于a,用含有a的式子表示AD的长.
经过思考和探讨,小明展示了一种解题思路:如图②,作∠DAE等于45°,AE和BC的延长线相交于点E,过点C作CF⊥AE于点F.通过证明△ABD≌△ACF,得到CF等于a,进而推出CE等于,所以AD等于DE等于CD+CE等于
在此基础上,李老师又提出了如下问题:
已知△ABC中,∠BAC等于45°,AB>,AC,AD是BC边上的高,设BD等于a,CD等于b,求AD的长.
请你画图并解答这个问题.
【答案】(1)当∠ACB为直角时,△ABC为直角三角形,b等于0,AD等于AC等于BD等于a.2分
(2)当∠ACB为锐角时,如图③,作∠DAE等于45°,AE和BC的延长线相交于点E,过点C作CF⊥AE于点F.则△CEF和△ADE都是等腰直角三角形.
设则.∴.4分
∵∠FAC+∠CAD等于45°,∠DAB+∠CAD等于45°,
∴∠FAC等于∠DAB.
又∵∠AFC等于∠ADB等于90°,
∴△FAC∽△DAB.等等等等6分
∴即
解得∴.8分
∵,∴.10分
整理得.
解得(舍去).
12分
(3)当∠ACB为钝角时,如图④,作∠DAE等于45°,AE和BC的延长线相交于点E,过点C作CF⊥AE于点F.与(1)中的求法类似,可设,,则.同(1)中的理由,得△FAC∽△DAB
∵,∴.16分
整理,得,
解得等17分
综上,AD的长为a或或或.18分
czsx..
-1-
第6题图
B
C
l2
l1
x
y
阿A
O
第4题图
第3题图
第2题图