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2016年教育教学论文

题目如何在高考中战胜立体几何

单位琼中中学

姓名那洪滨

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如何在高考中战胜立体几何

作者姓名:那洪滨作者单位:琼中中学

摘 要:立体几何是高中数学中的一个重要内容,又是每年必考的一个重要知识点.它主要考察学生的空间想象能力,逻辑思维能力,观察能力以及数学计算能力.根据历年高考试题中立体几何所占的比例之大,因此在复习时一定要加大力度并且主要用化归思想引导并帮助学生构建解题思路,即"生疏化成熟悉,复杂化成简单,抽象化成直观,含糊化成明朗".从而让学生不再惧怕立体几何,在高考中战胜立体几何.

关 键 词:分析,引导,分类,能力,化归,

立体几何是高中数学中的一个重要内容,又是每年必考的一个重要知识点.它重点考察学生的空间想象能力,逻辑思维能力,观察能力以及数学计算能力.因此,立体几何一直是学生眼中的难点,尤其是对于基础较薄弱地区的学生,更是难上加难.根据海南省近年来的高考试题可知,07-10年每年的立体几何试题都有两道5分的选择或填空题,一道12分的解答题,占据整个试卷的14.7%,11年高考中出现了一道选择题和一道解答题,占据整个试卷的11%,由此可以看出立体几何在高考中非常的重要,在复习时一定要加大力度并且主要用化归思想引导并帮助学生构建解题思路,即"生疏化成熟悉,复杂化成简单,抽象化成直观,含糊化成明朗".从而让学生不再惧怕立体几何,在高考中战胜立体几何.


由于立体几何这一章的概念,定理比较多,因此复习的时候要求学生记的就比较多.但是根据学生实际掌握的情况,可将学生的掌握情况分为两种:一种是由于知识点太多,定理总是混淆,另一种是有些学生知识点记的很扎实,但解题的时候却不知道怎样应用,无法把定理和所求紧密联系起来,达不到学以致用.

由于以上这些原因,我在复习的时候精心选择了典型的例题,由浅入深,让学生首先不惧怕立体几何,之后再逐渐加深难度.同时按照平行,垂直,线线,线面,面面等这些方面进行了分类讨论,分类记忆的方法,同时重点是运用了化归的思想,即

线线线面面面

目的是让学生把大量的定理分成几个组,首先可以消除学生对立体几何复习的障碍心理,其次可以通过分组使知识细化,更方便记忆和理解.首先从平行与垂直的角度进行分类,在研究平行与垂直的过程中又分为线线,线面,面面三个方面.具体做法是如下:

一、证明平行包括两种情况

线面平行有以下两个方法:①判定定理:若平面外一条直线与平面内一条直线平行,则这条直线和这个平面平行.②面面平行的性质:若两个平面平行,则一个平面内任何一条直线与另一个平面平行.

证明面面平行有以下三个方法:①判定定理:若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.②推论1:一个平面的两条交线分别与另一个平面的两条交线平行,则这两个平面平行.③推论2:若一条直线垂直于两个平面,则这两个平面平行.

在讲解这道题时,为了培养学生的思维能力并且能够让学生记住定理的内容,要特别注意引导方式.首先让学生思考证明线面平行的两个方法,然后选出能够解决此题的方法.当确定为判定定理之后,再适当引导学生找出定理的三个条件,即"面外,面内,平行".也就是要将线面平行转化为线线平行.

问题1:请观察直线PD是否在平面MAC外你能否在平面MAC中找到一条直线与PD平行吗如果没有,你能否通过做辅助线的方式在平面MAC中找到一条直线与PD平行呢由于M是中点,因此如何做辅助线才能得到平行线

通过这样一步一步的引入就可以训练学生分析问题的能力和逻辑思维能力.分析过后让学生口头叙述证明过程,这样又可以锻炼学生的表达能力,然后我再把标准答案板书给学生,从而提示学生解题需规范.同时提醒学生运用定理的关键是找平行线,找平行线又经常会用到三角形中位线定理.

二、证明垂直包括三种情况

证明线线垂直有以下三个方法:①勾股定理②线面垂直的性质:若一条直线垂直于另一条直线所在的平面,则两直线垂直.③三垂线定理:若平面内的一条直线垂直于平面的一条斜线在平面内的射影,则这条直线与这条斜线垂直.

证明线面垂直有以下三个方法:①判定定理:一条直线垂直于一个平面的两条交线,则这条直线和这个平面垂直.②推论:两平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条直线也与这个平面垂直.③面面垂直的性质:两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

证明面面垂直有以下两个方法:①定义:相交成直二面角的两个平面垂直.②判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直.

如图所示:△ABC中,∠C等于90°,P为平面ABC外一点且PA⊥平面ABC,过A作AN⊥PB于N,AM⊥PC于M,求证:PB⊥面AMN.

证明这类题,关键是如何利用化归思想教会学生分析结论,直到题目中的已知条件.

分析:要想证明PB⊥面AMN,关键是在平面AMN内找到两条相交直线与PB垂直,即AN和AM.因为PB⊥AN已知,所以只需证明PB⊥AM.再将线线垂直转化为线面垂直,即AM⊥平面PBC.从而只需证明AM⊥PC(已知)及AM⊥BC.

要想证明AM⊥BC,关键证BC⊥平面PAC,即BC⊥AC(因在三角形ABC中∠C等于90°)及BC⊥PA(因PA⊥平面ABC)

思路分析清楚之后,接下来让学生从后往前叙述证明过程,并将过程写下来,同时要注意定理的条件,规范解题过程.

三、求角问题包括三种情况

异面直线所成的角的范围是,求角的方法是平移法.直线和平面所成的角的范围是,求角的方法是定义法.二面角的范围是,求角的方法是定义法.

已知PA,PB,PC是从点P出发的三条射线,每两条射线的夹角为60°,求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值.

分析:在PC上任取一点D,作DH⊥平面PAB于H,则∠DPH

为PC与平面PAB所成的角.要求,

只需求PH与DP的长度即可.

解:在PC上任取一点D,作DH⊥平面PAB于H,

则∠DPH为PC与平面PAB所成的角.作HE⊥PA于E,HF⊥PB于F,

连结PH,DE,DF.∵EH,FH分别为DE,DF在平面PAB内的射影,由三垂线定理可得DE⊥PA.DF⊥PB.

∵∠DPE等于∠DPF,∴△DPE≌△DPF.∴PE等于PF.∴Rt△HPE≌Rt△HPF,

∴HE等于HF,∴PH是∠APB的平分线.

设EH等于a,则PH等于2EH等于2a在Rt△PDE中,∠DPE等于60°,DE⊥PA,

∴.在Rt△DPH中,DH⊥HP,PH等于2a,

,∴

解决求角问题关键在于作图,首先要做出线面角或者二面角的平面角,然后再计算求解.求解的常用方法为三角函数和余弦定理.

四、求空间距离包括以下四种情况

1.异面直线的距离:作图并通过证明找到同时垂直于两条异面直线的直线,再计算结果.

2.点面距:过点作平面的垂线段,在计算结果.

3.线面距:前提是直线与平面平行,在直线上任意选一点,只需求该点到平面的距离即可.

4.面面距:作图并通过证明找到同时垂直于两个平面的直线,再计算结果.

已知:求棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的面对角线A1C1与AB1的距离.

分析:求异面直线间的距离,关键是如何做辅助线才能得到一

条直线同时垂直于这两条异面直线.

解:连结BD1,取A1B1的中点E,连BE交AB1于M,

连D1E交A1C1于N,连MN.

因为ΔA1NE∽ΔC1ND1,所以等于等于,

则等于,同理等于.∴等于.∴MN∥BD1.

由三垂线定理知BD1与A1C1,AB1都垂直,故MN为两对角线的公垂线

又ΔEMN∽ΔEBD1,故等于等于.∴MN等于a.

解决求距离问题关键还是在于作图,首先做出一条可能同时垂直于两条异面直线(或两个平面)的直线,然后再证明这条直线的确是垂直于两条异面直线,最后计算出结果.求解的常用方法为三角函数和余弦定理.

以上只举出几个例子,不同的题有不同的解题技巧,在这里就不一一列举了.总之,通过化归的方法作几何证明题,使学生学会了如何分析问题,解决问题,培养了学生的逻辑思维能力,空间想象能力和语言表达能力.并且让学生明白了要多观察,仔细观察,从细节中找到突破口,让学生真正做到不再惧怕立体几何,从而在高考中战胜立体几何.