数形结合思想

第一编:数形结合

1.1数和形是数学中最基本的两个概念,也是数学发展进程中的两大支柱.

自从笛卡儿把坐标和变量引入数学,就为数形的结合与转化提供可能,给数学提供了一个双向工具.几何概念可以用代数表示.反之给代数语言以几何解释,从而直观的掌握这些抽象的语言的意义,并得到启发去探索新的结论,因此可以说"数"和"形"是共存于同一个体中的事物的两个侧面,是相互联系的,这种数与形相互联系的思想就是数形结合思想,它是数学中及其重要的思想.着名数学家华罗庚说:"数与形本是相倚依,怎能分做两边飞,数缺形时少直觉,形少数时难入微."他还风趣地说:"数形结合百般好,隔裂分家万事非."并亲切地教导我们不要"得意忘形".在数学中,抽象的数学事实只有与直观的图形结合起来,才能使学生学得更扎实,记得更清楚,牢固,从而达到看图说话的效果.着名数学家拉格朗日指出:"只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄,但是当这两门科学结合成伴侣时,它们就互相吸取新鲜的活力,从那以后就以快速的步伐走向完善."中学数学知识中,用数轴上的点表示整数或分数,在数轴上表示不等式的解集,利用数轴确定一元一次不等式的解集,数轴上的点与实数一一对应,把函数用图形来表示,借助图形,直观地分析函数的一些性质和特点,用图形表示数列,用方程表示曲线等等内容,都体现了数形结合的思想,教学中对起加以揭示是必要的,而且揭示清楚,使学生逐步理解,掌握这种思想,这对于提高数学教学在发展学生的逻辑思维和形象思维方面的效果和影响是十分重要的.运用数形结合的思想解题,不仅能够有效的解决问题,而且能够使学生认识问题的本质,加深对数学知道的理解,提高学生的解题能力,解题经验告诉我们,当寻找解题思路发生困难的时候,不妨从数形结合的观点去探索,当解题过程的复杂运算使人望而生畏时,不妨从数形结合的观点去开辟新路,当需要经验的正确性时,不妨从数形结合的观点去验证.它常给我们带来满意的效果,加强这方面的训练,对巩固基础,提高解题能力是重要的一环.美国数学家斯蒂恩说:"如果一个特定的问题可以转化为一个图形,那么思想就整体地把握了问题,并能创造性思索问题的解法."数形结合思想其特点是由数思形,将抽象的数式转化成直观的图形,以形助数.其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来,使抽象的思维和形象思维结合起来,实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,话抽象为直观.

1.2数形结合的类型

数与形是数学问题的两种表现,其中数较抽象,形较直观,两者各有特色,但它们都是数学问题的本质的反映,因此将数,形,结合.取两者之长,便有助于揭示所论问题的本质,并找到解决问题的有效途径.数形结合主要包含"以形助数","以数辅形"和"数形互动"三个方面.

1.2.1,通过坐标系统的建立,引入参变量,化静为动,以动求解,

1.2.2,数形结合体现在解题中,就是许多代数问题,可以用几何方法来解决,许多几何问题也可用代数方法来处理.

一般而言,代数问题较抽象,几何问较直观.几何问题代数化,原则上可以通过建立坐标系引进坐标来实现,而抽象的代数问题几何化则无一定的规则,但我们通过不断的解题实践来加以认识,代数问题与几何问题的结合与转化,特别是用"形"来解决"数"的问题,有时就会显得解决的"妙".这就是常说的"以形助数".

1.2.3,构造几何模型是当从数的角度难以下手的,通过挖掘所论问题的几何意义并构造出相适应的辅助图形以帮助解题的方法.

1.3数形结合在各分支的应用

1.3.1数形结合在集合问题中的应用

在解决集合问题时,有一些常用的方法如数轴发取交并集,文氏图法以及借助函数图像等,是中学数学中的一类重要的题型,处理这类问题的常用方法是先观察题目已知条件,若能充分注意到集合的性质,利用数形结合思想,形象地表示出各数量间的联系,从而求解,则往往可以形成较为简洁的解法.

1.1借助文氏图

文氏图主要适用于离散型(元素各自孤立)的集合以及单纯的抽象型集合,但仍要注意问题的全面性,考虑问题要面面俱到,紧抓已知条件,准确的画出文氏图,简便解题.

例1:已知集合,

,求集合.

分析:由题目已知条件可以很明显的看出,此题是交并集集合问题,首先我们应该依此解出集合,观察可知解出集合里都是数字,那么自然而然的,我们采取文氏图法来解决问题.

解:,

,

如右图,易得.

1.2借助数轴

数轴主要适用于解决与不等式相关的集合问题,数轴是学生很早就已经接触比较简便的图形,但是此类题型在用数轴的时候,最容易忽视空集的情况,这里做出强调.

例2:已知集合,,,

,求集合.

分析:由题目的已知条件可以看出,题目是与不等式相关的集合问题,并且也是集合的交并集问题,我们很容易想到要借助数轴解题,但需要进行非空的讨论,往往空集的情况是学生最容易忽视的.

解:(1)当时A等于B等于,此时.

(2)当a,b不满足(1)时由A等于B得a等于3,b等于5

此时,

利用数轴如右图求得.

例3:,,若中有且只有一个整数,求的范围.

解:因为,∴

∴,∴,∴这个整数

只能是或,当这个整数是-7时则,∴,

当这个整数是-6时,则,∴,

当这个整数是-5时,则,∴,

故所求的范围是:或或

1.3借助函数图象

函数图像主要适用于解决与函数相关的集合问题,函数是中学的重点知识也是难点,那么此类题目需要学生有良好的函数基础,往往此时要求集合的交并集时就可以转化为求函数的交点,于是我们画出函数图像问题就迎刃而解.

例4:集合,,已知只有一个子集,那么k的取值范围是().

(A)(B)(D)

分析:由题目已知条件可知,本题是与函数相关的集合问题,所以我们轻而易举的想到将集合问题转化为直线与指数函数的图象的交点问题,根据题意作出图形,运用数形结合的思想,合理求解.在作图时,应注意y等于的图象始终在直线上方.

解:集合P表示直线,集合Q表示曲线y等于由只有一个子集可知所以直线y等于k与曲线y等于没有交点.不妨设a>,1,(当0<,a<,1时,情况同理)在同一坐标系纵作出y等于k与y等于图象如右图,由图象可知

所以k的取值范围是,选(B).

例5.

则实数b的取值范围是____________________.

分析:

以3为半径的圆在x轴上方的部分,(如图),而N则表示一条直线,其斜率k等于1,纵截

距为,由图形易知,欲使即使直线与半圆有公共点,

1.3.2数形结合在不等式问题中的应用

在解决不等式问题时,运用数形结合更为形象直观,简洁明快,特别是在解决含参数的不等式时,由于涉及到参数,往往需要讨论,导致演算过程繁琐,若用数形结合的方法,问题会大大简化,有时在确定不等式中的参数的范围时,几何图形能使问题直观化.

2.1借助函数图象

函数图像适用于不等式中含的不等式,可以将其看作函数并画出函数图像,转化成为几何问题,从图像直观地观察出特点,然后进行计算,即准确又快速.

例6:解不等式.

分析:由已知条件可知,利用数形结合解含的不等式,看做函数或者曲线,作出图象,根据范围和图像特点解题.

解法一:零点分数轴法分类讨论,

可得:

解法二:两边平方法:再解绝对值不等式即得:

解三:令

可得

它们的图象如右图所示

因为,所以原不等式的解集为

.

方法四:直接利用数轴上绝对值的几何意义即得:

2.2借助二次方程实根分布

若已知实系数一元二次方程实根的分布范围,则可根据"判断式,对称轴,区间端点值"

确定相应二次函数的某些性质.因此利用二次方程实根分布范围处理不等式,可使其解法

简捷巧妙.

例7:设,又设B是关于x的不等式的解集,且,试确定的取值范围.

分析:由已知条件可知实系数一元二次方程实根的分布范围,于是我们可以根据"区间端点值"确定相应二次函数的性质,利用实根分布范围处理不等式,从而使问题得到解决.

解:记f(x)等于x2-2x+a,B1为不等式(1)的解集,记g(x)等于x2-2bx+5,B2为不等式(2)的解集.则,又因为所以

如右图则有:

且

即且

解得:

例8.

分析:

2.3借助线性规划

线性规划适用于解决不等式组解集区域问题,也可通过一个不等式转化成不等式组区域,总而言之,此类题目,应该根据不等式画出可行区域,然后用线性规划的知识进行求解不等式问题,但需强调的是不能忽略一些特殊点情况.

例9:解不等式

分析:由已知条件我们可以观察出,不能运用两边同时平方或是直接求解,于是我们想到通过"双换元"将不等式转化为混合组,在可行域内根据几何意义先求出辅元的范围,使不等式得到巧妙解决,这种方法简单直观具有创新性.

解:令,

则解得:,

根据约束条件画出可行域,如右图

则可行区域为圆在第一象限内的弧AB(包含)不含点B)

由解得:.

例10.

解:法一,常规解法:

法二,数形结合解法:

2.4借助向量图形

向量图形适用于与根式相关的不等式问题,当根号下是一个单纯的数字的时候,往往我们优先考虑借助向量解题,我们可以构造向量模型,例如圆,然后由图形的范围求出不等式的解.

例11:求证:

分析:由已知条件可以想到构造向量模型或图形的方法,比其常规解法都要简捷,巧妙,达到事半功倍的效果.

证明:不妨构造向量,设,则:

即向量的中点在圆O:上

如右图示,设圆与x正半轴交于点A,在第一象限与直线y等于x交于点B

由得:

所以

即:

则有

故

2.5借助几何模型求值或证明不等式

例12:已知正数满足,求证:

证:构造长方体如图所示:,

则

在中,由三边的不等关系即得:

例13:已知正数满足,求证:

.

方法一:如图构造正方形

三个小矩形的面积之和小于大矩形的面积

即:

方法二:

构造三角形如图,

即:

所以

例14:正数满足,计算

的值.

例15:解方程组

解法一:(1)式可化为

所以构造三角形如图所示:令

则,即

解法二:由(2)得

所以

1.3.3数形结合在求方程的根问题中的应用

在求方程的根问题中,我们也优先考虑数形结合的方法解题.对于一元二次方程实根的分布问题,可借助二次函数图像,利用数形结合的思想对问题做等价转换,从顶点,判别式,对称轴,自变量去一些关键值时函数值的符号,从而列出相应的方程或是不等式,使问题得到解决.

3.1相关参数的取值

适用于求方程的表达式及根的取值范围,先推导出相应的二次函数的大

致图象,然后观察图像特征,再依据图象直观形象地得到结论,为求参数m的值提供依据.

例16:关于的二次方程有两个实数根,一个大于-1,另一个小于-1,则应满足().

分析:由已知条件可知,要求方程相关参数的取值,可以立刻想到运用数形结合的思想,先设出方程和根,然后根据已知条件画出图像,进而观察图像的特点以及结合范围进行求解.

解:设方程的两实数根为且

令因为

所以,其函数图象的开口向上.又根据题意知

此抛物线与x轴的两个交点的左右两侧

因此,此函数的大致图象如右图所示

观察分析图象可知

即解得:,本题答案应选C.

3.2结合二次函数图象

适用于求一元二次方程的解类型的题目,先根据题目已知条件画出二次

函数的图象,然后观察图像,根据图像的各类特征,再依据图象直观形象地得到关系式或是结论,从而求出方程的解.

例17:已知二次函数的部分图象如图所示,

则关于的一元二次方程的解为_______.

分析:由题目已知条件和图像可知,应该将数形结合起来进行解题,首先要读清题意,观察图像,然后根据函数图像对称轴的性质直观形象地得到关系式,再根据二次函数与一元二次方程的相互关系得出方程的根.

解:观察图可知:这个二次函数函数图象与根据抛物线与轴的两个交点关于对称轴互相对称的性质,由,所以

即:

按照二次函数与一元二次方程的相互关系

即知

再由方程的根与系数的关系得:

所以,解方程得:

3.3标根解不等式

适用于解不等式和分式不等式,用标根的方法在数轴上标出方程的根.需要强调的是,当不等式是分式不等式时,要特别注意分母不能为零的情况,这也是做题中经常被忽略的地方,其次要注意是取数轴的上方还是下方,要根据不等式的符号来确定.

例18:解不等式.

分析:由题目可以直接观察出不等式是分式不等式,那么在解题过程中应该优先想到用标根方法来借不等式,但此题要注意分母的情况.

解:因分母的最高次项的系数是所以不等式变形为

将分子与分母的相除变为相乘,同时注意分式有意义,分母不为0

即:标根,

如图所示:

因,所以X轴上方向的图象有两部分:

一部分在-1和之间,一部分在4的右侧

所以的解集为:

3.4方程根的个数

讨论有关方程根的个数问题时,通常把方程问题转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决.在设函数时,一般一个函数中不含参数,另一个函数中含有参数,进而观察函数图象在运动过程中交点的变化情况.

例19:试就实数取值情况,讨论关于的方程的解得个数.

分析:由题意可知,此题是讨论方程的解的个数,即方程根的个数,于是我们要把方程问题转化为求两个函数图像的交点个数问题来解决,即将等式两边设成两个函数,从而根据讨论的范围来确定两函数图像的交点个数,从而求得方程的解的个数.

解:在同一坐标系中做出它们的函数图象

由右图可知:当时

两图象只有一个交点,原方程有唯一解,

当0<,m<,1时两图象有两个不同的交点,原方程有两解,

当m<,0时两图象无交点,原方程无解.

例20.

A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个

分析:

出两个函数图象,易知两图象只

有两个交点,故方程有2个实根,

选(B).

例21:在其定义域(0,+∞)内都有,若恒成立,求实数的范围.

解:令

如图所示:恒成立,等价于的图象在图象的上方,

3.5方程所有根的和

求方程所有根的和时应该采用整体思想以及借助数形结合的思想,再根据函数图像的特征简化题目,将方程的所有根作为一个整体根据图像性质进行求解,体现出数形结合解题的优越性.

例22:().

分析:本题是求,即应该采用整体思想,同时该结构特征使我们联想到对称的用处,根据对称我们可以顺利解决问题.

解:将已知条件变形有:

构造函数

做出以上三个函数及图像

如右图,由题意知

函数和图像关于直线对称

又由直线与垂直

且图像交点的横坐标为,根据图像的对称性知.

1.3.4数形结合在函数问题中的应用

在解决函数问题中,我们应该根据题型的不同分析并优先考虑数形结合的方法解题.比如在遇到求函数的最值和值域,函数的自变量和变量的取值范围,函数的系数等问题时应该优先选择结合数形结合的思想将题目简化,从而快速准确地解题.

4.1最值和值域

在求函数最值和值域的题型中,我们应该立马想到运用数形结合的方法

简化解题,将代数问题转化为几何图形,然后根据图像和题目已知条件进行解题.

例23:求函数的最值.

分析:由题目可知要求函数的最值,观察函数是根式形式,于是我们用数形结合的方法将代数问题转化为图形问题,使复杂根式问题的最值简单化,形如均可转化为"三角形中的两边之和(差)大于(小于)第三边"求最值.

解法一:把函数化为

则原问题转化为求上点到两定点

的距离的和的最值.如右图所示:

根据几何定理易知|PA|+|PB|有最小值而无最大值

点A关于对称的点

从而可得

所以原函数的最小值为

解法二:把函数化为

则原问题转化为到两定点D距离之和的最值.

如图:当A,P,B共线时最小,

最小值为

例24:

分析:

例25:

解法一(代数法):,

解法二(几何法):

例26:

分析:

转化出一元二次函数求最值,倘若对式子平方处理,将会把问题复杂化,因此该题用常规解法显得比较困难,考虑到式中有两个根号,故可采用两步换元.

解:,

第一象限的部分(包括端点)有公共点,(如图)

相切于第一象限时,u取最大值

例:27:求的最小值.

分析:由可以想到勾股定理,也可以想到三角换元,有可以想到斜边为,300的角所对的边,问题就会迎刃而解.

方法一:如图当直线垂直直线

时,

方法二:令

如图所示:当直线与半圆

相切时最小为,所以的最小值为.

例28:求的最值

解法一:(代数换元)

解法二:斜率模型法

例29:求的最小值

解法一:

,

所以

解法二:令

如图:,,

所以

4.2图象与系数的关系

图像与系数的关系一般来说都已经明确指出要用图形解题,我们可以根

据图形的性质,包括开口方向,顶点,对称轴,判别式,交点等,由此判断函数的系数符号或是大小,也可根据系数的符号和大小判断函数图像的形状和位置.

例30:已知二次函数的图象如图所示,对称轴为,下列结论正确的是()

分析:题目已经给出了函数图像,我们只需观察函数图像,用字母表示出函数的对称轴,判别式,开口向下,从而求出系数的符号或是大小关系.

解:抛物线开口向下,,抛物线与y轴交于正半轴,

所以,排除A,对称轴

而,故,排除B

抛物线与x轴有两个交点,排除C.

对称轴为,从而,选D

4.3求函数定义域

在求函数的定义域的题目类型中,我们首先根据求函数定义域的基本方

法进行判断是否能够使用,当一般遇到三角函数,根式,分式等较复杂的函数的时候,我们就应该想到运用数形结合的方法,有时还需要灵活转化,方便解题.

例31:试求函数的定义域.

分析:由题目看出,函数是由根式以及三角函数和对数函数组成的复合函数组成的,是个较为复杂的函数,所以我们用一般的求自变量定义域的方法相当复杂,于是我们想到借助函数图像,将复合函数分别求出定义域,然后根据求交集来求出复合函数的定义域.

解:求函数定义域就是求不等式组的解集

利用三角函数图象求解

画出图象如下图:由图象可知:

即函数定义域为:

1.3.5数形结合在解析几何问题中的应用

学习平面解析几何时,一方面,需要深刻理解数形结合,掌握数形结合的基础知识,另一方面,要能够运用数形结合思想解决具体问题.在中学代数的许多问题研究过程中,若能有效地结合"几何模型"把数量关系转化为图形性质问题,常会使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化.

5.1构造基本公式模型

解析几何中的基本公式常用来作为几何模型解题,如:(1)定比分点公式,(2)两点的距离公式,(3)点到直线的距离公式等.

例32:已知实数满足,求的最小值.

分析:题目所求是最小值,我们进一步观察可以发现可以看成与两点的距离,于是画出直线和两点,根据图像可以得出结果.

解:在直线上运动,表示

与两点的距离,如右图所示:

由点到直线的距离定义可知:

5.2构造直线和圆的模型

在涉及某些二元一次方程和二元二次方程,比如,涉及形和中,我们常常建立直线和圆的解析几何模型,利用有关元素的几何意义和位置关系简捷而巧妙地解决问题.

例33:如果实数满足等式,求的最大值.

分析:此题求的最大值,我们可以将其转化为直线的斜率,设,于是转化成了涉及到和的直线和圆的几何模型,于是我们根据题意画出图像,依据表示直线的斜率可以求出的最大值.

解:建立直线和圆的模型:表示P(x,y)是以(2,0)为圆心,半径为的圆上一点,如右图所示:

表示直线OP的斜率

由解析几何知识易得:

变:有两个不等实根,求范围.

5.3曲线模型

在解代数问题中常涉及到形如这样的二次方程我们常通过建立抛物线,椭圆,双曲线的模型来解题.

例34:已知复数满足和,求.

分析:此题目中的和可以由复数运算的几何意义转化为椭圆和双曲线,再由图像可以求出.

解:由复数运算的几何意义可知:

表示中心在原点,焦点在x轴上,

长轴长为10的椭圆,表示中心在

原点,焦点在y轴上的双曲线的下支,如右图所示:

由图形以求得:z等于-4i

1.3.6数形结合在向量问题中的应用

向量是集数与形于一身的数学概念,是数学中属性集合思想的典型体现.我们知道向量可以按照一定的运算率进行加减乘及数量积运算,很多同学会认为向量是属于代数范畴,但是我们知道以上运算都有它的几何意义,因而向量实际上是属于几何范畴.我们在解题时,若能巧妙地结合向量的几何意义,可以将许多复杂问题简单化,抽象问题直观化.

6.1计算长度或夹角

若题目需要求的是向量的长度或是夹角,那么我们应该优先考虑运用数形结合的思想,结合向量图形解题.

例35:已知均为单位向量,它们的夹角为60o,那么||等于()

A.B.C.D.4

分析:题目要求的是的向量和的模长,所以我们运用数形结合进行解题,画出向量组成的平行四边形,然后借助余弦定理可得到等式,从而得出答案.

解:构造如右所示平行四边形

设60o

则

又由余弦定理的得:120o

所以得到:||等于

故选C

例36:已知||等于||等于||,且,求三向量两两间夹角.

分析:题目要求的是向量之间的夹角,那么我们首先画出向量图形,使之组成一个三角形,右图形直接得出夹角是120o.

解一:由于||等于||等于||,且,

将三向量首尾相连,必可以构成一个正三角形

如右图所示:

设,

则三向量的夹角恰为三角形的三外角

故三向量之间两两夹角为120o

解二:构造一个圆如图所示:设,

由||等于||等于||,且,知三角形ABC为正三角形

故三向量之间两两夹角为120o

6.2最值类问题

若题目需要求的是与向量相关的最值问题,那么我们结合向量图形进行解题,还可以将向量转化到其他几何图形中进行求解,常用到的是将向量转化到圆内进行解题.

例37:已知向量,则||的最大值,

最小值分别是().

A,B,C,16,0D,4,0

分析:由题目已知条件我们可以得出||等于2,且||等于2,转化为终边都在一个半径为2的圆上,然后B为定点,A为动点,那么可以求出当A在圆上移动时的||等于||的最值.

解:由可知:||等于2,且||等于2,

将向量,起点移到原点,则终边都在一个半径为2的圆上

如右图所示:设

则其中B为定点,A为动点,于是当A在圆上移动时可知:

||等于||的最大值为4,最小值为0.故选D.

例38:已知||等于||等于2,||等于1,且,求||的最值.

解答略:最大值为,最小值为

结语

通过本课题的研究,我们不难发现数学思想方法是理论联系实际的一步棋子,是由知识转化为能力的一架桥梁.数学方法与数学思想互为表里,它们都建立在一定的知识基础上,反过来又促进知识的深化提高和逐步向能力的转化.还有人把数学比喻为一个人:问题是数学的"心脏",知识是数学的"躯体",方法是数学的"行为",而思想是数学的"灵魂".不管怎样比喻,都可以清楚的知道中学解题中数学思想方法的有效渗透有多么重要,作为一名教师,要树立终身学习的愿望,认真备课,备教材,备方法,为学生的一切着想,为自身的数学素养着想,将关注数学思想方法作为教学的追求,让数学思想方法在平实的教学课堂中随意的流淌.

1.4强化训练

一、选择题:

1.方程的实根的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.函数的图象恰有两个公共点,则实数a的取值范围是()

A.B.

C.D.

3.设命题甲:,命题乙:,则甲是乙成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.不充分也不必要条件

4.适合且的复数z的个数为()

A.0个B.1个C.2个D.4个

5.若不等式的解集为则a的值为()

A.1B.2C.3D.4

6.已知复数的最大值为()

A.B.C.D.

7.若时,不等式恒成立,则a的取值范围为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(1,2]D.[1,2]

8.定义在R上的函数上为增函数,且函数的图象的对称轴为,则()

A.B.

C.D.

二、填空题:

9.若复数z满足,则的最大值为___________.

10.若对任意实数t,都有,则,由小到大依次为___________.

11.若关于x的方程有四个不相等的实根,则实数m的取值范围为___________.

12.函数的最小值为___________.

13.若直线与曲线有两个不同的交点,则实数m的取值范围是___________.

三、解答题:

14.若方程上有唯一解,求m的取值范围.

15.若不等式的解集为A,且,求a的取值范围.

16.设,试求下述方程有解时k的取值范围.

【强化训练答案】

1.C2.D3.A4.C5.6.7.8.A

二、填空题:

9.

提示:|Z|等于2表示以原点为原心,以2为半径的圆,

即满足|Z|等于2的复数Z对应的点在圆O上运动,(如下图),

而|z+1-i|等于|z-(-1+i)|表示复数Z与-1+i对应的两点

的距离.由图形,易知,该距离的最大值为.

10.

提示:由知,f(x)的图象关于直线x等于2

对称,又为二次函数,其图象是开口

向上的抛物线,由f(x)的图象,易知

的大小.

11.

提示:设,画出两

函数图象示意图,要使方程有

四个不相等实根,只需使

12.最小值为

提示:对,联想到两点的距离公式,它表示点(x,1)到(1,0)的距离,表示点(x,1)到点(3,3)的距离,于是表示动点(x,1)到两个定点(1,0),(3,3)的距离之和,结合图形,易得.

13.

提示:y等于x-m表示倾角为45°,纵截距为-m的直线方程,而则表示以(0,0)为圆心,以1为半径的圆在x轴上方的部分(包括圆

与x轴的交点),如下图所示,显然,欲使直线与半圆有两个

不同交点,只需直线的纵截距,即.

三、解答题:

14.解:原方程等价于

令,在同一坐标系内,画出它们的图象,

其中注意,当且仅当两函数的图象在[0,3)上有唯一公共点时,原方程有唯一解,由下图可见,当m等于1,或时,原方程有唯一解,

因此m的取值范围为[-3,0]{1}.

注:一般地,研究方程时,需先将其作等价变形,使之简化,

再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况.

15.解:令表示以(2,0)为圆心,以2为半径的圆在x轴的上方的部分(包括圆与x轴的交点),如下图所示,表示过原点的直线系,不等式的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值.

由于不等式解集因此,

只需要∴a的取值范围为(2,+).

16.解:将原方程化为:,

∴令,它表示倾角为45°的直线系,令,它表示焦点在x轴上,顶点为(-a,0)(a,0)的等轴双曲线在x轴上方的部分,∵原方程有解,∴两个函数的图象有交点,由下图知:∴

∴k的取值范围为