本站原创小组成员:陈奕樽侯智贤陈义明
指导老师:张江涛
走进数学奇妙世界数学研究型课题报告
目录
一、结题报告等等等等等等等等等等3
二、附件
1,开题报告等等等等等等等等等等.27
2,活动记录等等等等等等等等等等.29
3,心得体会等等等等等等等等等等.32
4,组员互评等等等等等等等等等等33
5,学生自我总结等等等等等等等等等..36
6,导师评语等等等等等等等等等等39
7,学分认定表等等等等等等等等等等.40
8,试验与采访等等等等等等等等等..41
走进奇妙数学世界
──数学研究型课题报告
课题组组长:陈奕樽
课题组成员:侯智贤,陈义明
指导老师:张江涛
前言:
数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.简单的说,是研究数和形的科学.由于生活和劳动上的需求,即使是最原始的民族,也知道简单的计数,并由用手指或实物计数发展到用数字计数.1+1等于2,概率,勾股定理,黄金分割点等都是数学中极具代表性的知识,我们此次所做的研究性报告便是对这些知识的描述与探究.从中可以体验到真正的数学世界的奇妙与伟大.
1+1等于2
小学生都知道的伟大公式
2004年10月,一条科学新闻在国内的媒体上不胫而走:"1+1等于2入选最伟大的公式."原来,英国着名的科学杂志《物理世界》此前举行了一场别开生面的评选活动,邀请世界各地的读者选出自己心目中最伟大,最喜爱的公式,定理或定律.结果,让很多人意外的是,1+1等于2这个连小学生都知道的基本数学公式不仅入选,而且还高居第七.一个加拿大读者说出了他的理由:"这个最简单的公式有着一种妙不可言的美感."此次评选活动的主持者则这样评价到:"一个伟大公式的力量不仅论述了宇宙的基本特性并传达了标志性的信息,而且还在尽力孕育出更多自然界的科学突破."
无独有偶,1971年,尼加拉瓜发行了一套纪念邮票《改变世界面貌的十个数学公式》,排在第一的赫然正是这个"1+1等于2".(看来它是很重要！！！)
1+1等于2之所以如此重要,原因在于它是一条关于"数"的基础公式.没有它,就根本不会有数学,更不要说物理,化学等其他自然科学了.
数的出现
早在蒙昧时代,人们就在对猎物的储藏与分配等活动中,逐渐产生了数的感觉.当一个原始人面对放在一起的3只羊,3个苹果或3支箭时,他会朦胧地意识到其中有一种共性.可以想象,他此时会是多么地惊讶.但是,从这种原始的感觉到抽象的"数"的概念的形成,却经过了极其漫长的时间.
一般认为,自然数的概念的形成可能与火的使用一样古老,至少有着30万年的历史.现在我们无法考证,人类究竟在什么时候发明了加法,因为那时没有足够详细的文献记录(也许文字也刚刚诞生).但加法的出现无疑是为了在交换商品或战俘时进行运算.至于乘法和除法,则必定是在加减法的基础上搞出来的.而分数应该是处于分割物体的需要.
应该说,当某个原始人第一个意识到1+1等于2,进而认识到两个数相加得到另一个确定的数时,这一刻是人类文明的伟大时刻,因为他发现了一个非常重要的性质——可加性.这个性质及其推广正是数学的全部根基,它甚至说出数学为什么用途广泛的同时,告诉我们数学的局限性.
人们现在知道,世界上存在三类不同的事物.一类是完全满足可加性的量.比如质量,容器里的气体总质量总是等于每个气体分子质量之和.对于这些量,1+1等于2是完全成立的.第二类是仅仅部分满足可加性的的量.比如温度,如果把两个容器的气体合并在一起,则合并后气体的温度就是原来气体各自温度的加权平均(这是一种广义的"相加").但这里就有一个问题:温度这个量不是完全满足可加性的,因为单个分子没有温度.
世界上还有一些事物,他们是彻底拒绝可加性的,比如生命世界里的神经元.我们可以将容器里的分子分到两个容器,使得每个容器里的气体仍然保持有宏观量——温度,压强等.但是,我们对神经元不能这样做.我们每个人都会产生幸福,痛苦之类的感觉.生物学告诉我们,这些感觉是由神经元产生的.但是,我们却不能说,某个神经元会产生多少幸福或痛苦.不仅每个神经元并不具备这种性质,而且我们也不能将大脑劈成两半,使得每个半球都有幸福或者痛苦感.神经元不是分子——分子可以随时分开或者重组,神经元具有协调性,一旦将他们分开,生命就会终结,不可能再组合(你可以自我实验下-.-).
目前的数学尽管已发展了5000年,却仍主要建立在可加性的基础之上.遇到这些不满足可加性的问题时,我们常常觉得很难用数学来处理.这正反映了数学的局限性.
另一种"1+1"
数学上,还有另一个非常有名的"(1+1)",它就是着名的哥德巴赫猜想.尽管听起来很神奇,但它的题面并不费解,只要具备小学三年级的数学水平就就能理解其含义.原来,这是18世纪时,德国数学家哥德巴赫偶然发现,每个不小于6的偶数都是两个素数之和.例如3+3等于6,11+13等于24.他试图证明自己的发现,却屡战屡败.1742年,无可奈何的哥德巴赫只好求助当时世界上最有权威的瑞士数学家欧拉,提出了自己的猜想.欧拉很快回信说,这个猜想肯定成立,但他无法证明.
有人立即对一个个大于6的偶数进行了验算,一直算到了330000000,结果都表明哥德巴赫猜想是对的,但就是不能证明.于是这道每个不小于6的偶数都是两素数之和[简称(1+1)]的猜想,就被称为"哥德巴赫猜想",成为数学上一颗可望不可及的"明珠".
19世纪20年代,挪威数学家布朗用一种古老的数学方法"筛法"证明,每一个大于6的偶数可以分解为一个不超过9个素数之积和另个不超过9个素数之积的和,简称"(9+9)".从此,各国数学家纷纷采用筛法去研究哥德巴赫猜想.
1956年底,已先后写了四十多篇论文的陈景润调到科学院,开始在华罗庚教授指导下专心研究数论.1966年5月,他象一颗璀璨的明星升上了数学的天空,宣布他已经证明了(1+2).
1973年,关于(1+1)的简化证明发表了,他的论文轰动了全世界数学界."(1+2)"即"大偶数都能表示为一个素数及一个不超过二个素数的积之和",被国际公认为"陈景润定理".
陈景润(1933.5~1996.3)是中国现代数学家.1933年5月22日生于福建省福州市.1953年毕业于厦门大学数学系.由于他对塔里问题的一个结果作了改进,受到华罗庚的重视,被调到中国科学院数学研究所工作,先任实习研究员,助理研究员,再越级提升为研究员,并当选为中国科学院数学物理学部委员.
1996年3月下旬,由于积劳成疾,在距离哥德巴赫猜想的光辉顶峰只有咫尺之遥时,陈景润却倒下了,给世人留下无尽遗憾.
概率
【概率的定义】
随机事件出现的可能性的量度.概率论最基本的概念之一.人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试,某件事发生的可能性是多少,这都是概率的实例.
概率的频率定义
随着人们遇到问题的复杂程度的增加,等可能性逐渐暴露出它的弱点,特别是对于同一事件,可以从不同的等可能性角度算出不同的概率,从而产生了种种悖论.另一方面,随着经验的积累,人们逐渐认识到,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率,总在一个固定数的附近摆动,显示一定的稳定性.R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率,这就是概率的频率定义.从理论上讲,概率的频率定义是不够严谨的.A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义.
概率的严格定义
设E是随机试验,S是它的样本空间.对于E的每一事件A赋于一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.这里P(·)是一个集合函数,P(·)要满足下列条件:
(1)非负性:对于每一个事件A,有P(A)≥0,
(2)规范性:对于必然事件S,有P(S)等于1,
(3)可列可加性:设A1,A2等是两两互不相容的事件,即对于i≠j,Ai∩Aj等于φ,(i,j等于1,2等),则有P(A1∪A2∪等)等于P(A1)+P(A2)+等
概率的古典定义
如果一个试验满足两条:
(1)试验只有有限个基本结果,
(2)试验的每个基本结果出现的可能性是一样的.
这样的试验,成为古典试验.
对于古典试验中的事件A,它的概率定义为:
P(A)等于m/n,n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目.m表示事件A包含的试验基本结果数.这种定义概率的方法称为概率的古典定义.
概率的统计定义
在一定条件下,重复做n次试验,nA为n次试验中事件A发生的次数,如果随着n逐渐增大,频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近,则数值p称为事件A在该条件下发生的概率,记做P(A)等于p.这个定义成为概率的统计定义.
在历史上,第一个对"当试验次数n逐渐增大,频率nA稳定在其概率p上"这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布·伯努利(JocobBernoulli,公元1654年～1705年).
从概率的统计定义可以看到,数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标.
由于频率nA/n总是介于0和1之间,从概率的统计定义可知,对任意事件A,皆有0≤P(A)≤1,P(Ω)等于1,P(Φ)等于0.
Ω,Φ分别表示必然事件(在一定条件下必然发生的事件)和不可能事件(在一定条件下必然不发生的事件).
【生活中的实例】
普遍认为,人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉,或者说不安全感,俗称「点背」,下面列出的几个例子可以形象描述人们有时对机率存在的错误的认识:
1.:在(49选6)中,一共有13983816种可能性(参阅组合数学),普遍认为,如果每周都写一个不相同的号,最晚可以在13983816/52(周)等于268919年後获得头等奖.事实上这种理解是错误的,因为每次的机率是相等的,的可能性并不会因为时间的推移而变大.
2.生日悖论:在一个足球场上有23个人(2×11个运动员和1个裁判员),不可思议的是,在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大於50%.
3.游戏:在游戏中玩家普遍认为,在连续出现多次红色後,出现黑色的机率会越来越大.这种判断也是错误的,即出现黑色的机率每次是相等的,因为球本身并没有「记忆」,它不会意识到以前都发生了什麽,其机率始终是18/37.
4.三门问题:在电视台举办的猜隐藏在门後面的汽车的游戏节目中,在参赛者的对面有三扇关闭的门,其中只有一扇门的後面有一辆汽车,其它两扇门後是山羊.游戏规则是,参赛者先选择一扇他认为其後面有汽车的门,但是这扇门仍保持关闭状态,紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中後面有山羊的一扇门,这时主持人问参赛者,要不要改变主意,选择另一扇门,以使得赢得汽车的机率更大一些正确结果是,如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭着的门,他赢得汽车的机率会增加一倍.
【概率的两大类别】
古典概率相关
古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形,即基本空间由有限个元素或基本事件组成,其个数记为n,每个基本事件发生的可能性是相同的.若事件A包含m个基本事件,则定义事件A发生的概率为p(A)等于m/n,也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数,这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义,或称之为概率的古典定义.历史上古典概率是由研究诸如掷一类游戏中的问题引起的.计算古典概率,可以用穷举法列出所有基本事件,再数清一个事件所含的基本事件个数相除,即借助组合计算可以简化计算过程.
几何概率相关
集合概率若随机试验中的基本事件有无穷多个,且每个基本事件发生是等可能的,这时就不能使用古典概率,于是产生了几何概率.几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应,利用几何区域的度量来计算事件发生的概率,布丰投针问题是应用几何概率的一个典型例子.
在概率论发展的早期,人们就注意到古典概率仅考虑试验结果只有有限个的情况是不够的,还必须考虑试验结果是无限个的情况.为此可把无限个试验结果用欧式空间的某一区域S表示,其试验结果具有所谓"均匀分布"的性质,关于"均匀分布"的精确定义类似于古典概率中"等可能"只一概念.检测设区域S以及其中任何可能出现的小区域A都是可以度量的,其度量的大小分别用μ(S)和μ(A)表示.如一维空间的长度,二维空间的面积,三维空间的体积等.并且检测定这种度量具有如长度一样的各种性质,如度量的非负性,可加性等.
◆几何概率的严格定义
设某一事件A(也是S中的某一区域),S包含A,它的量度大小为μ(A),若以P(A)表示事件A发生的概率,考虑到"均匀分布"性,事件A发生的概率取为:P(A)等于μ(A)/μ(S),这样计算的概率称为几何概率.
◆若Φ是不可能事件,即Φ为Ω中的空的区域,其量度大小为0,故其概率P(Φ)等于0.
【必然事件与不可能事件】
在一个特定的随机试验中,称每一可能出现的结果为一个基本事件,全体基本事件的集合称为基本空间.随机事件(简称事件)是由某些基本事件组成的,例如,在连续掷两次的随机试验中,用Z,Y分别表示第一次和第二次出现的点数,Z和Y可以取值1,2,3,4,5,6,每一点(Z,Y)表示一个基本事件,因而基本空间包含36个元素."点数之和为2"是一事件,它是由一个基本事件(1,1)组成,可用集合{(1,1)}表示"点数之和为4"也是一事件,它由(1,3),(2,2),(3,1)3个基本事件组成,可用集合{(1,3),(3,1),(2,2)}表示.如果把"点数之和为1"也看成事件,则它是一个不包含任何基本事件的事件,称为不可能事件.在试验中此事件不可能发生.如果把"点数之和小于40"看成一事件,它包含所有基本事件,在试验中此事件一定发生,所以称为必然事件.若A是一事件,则"事件A不发生"也是一个事件,称为事件A的对立事件.实际生活中需要对各种各样的事件及其相互关系,基本空间中元素所组成的各种子集及其相互关系等进行研究.
【概率的性质】
性质1.P(Φ)等于0.
性质2(有限可加性).当n个事件A1,等,An两两互不相容时:P(A1∪...∪An)等于P(A1)+...+P(An).
_
性质3.对于任意一个事件A:P(A)等于1-P(非A).
性质4.当事件A,B满足A包含于B时:P(B-A)等于P(B)-P(A),P(A)≤P(B).
性质5.对于任意一个事件A,P(A)≤1.
性质6.对任意两个事件A和B,P(B-A)等于P(B)-P(AB).
性质7(加法公式).对任意两个事件A和B,P(A∪B)等于P(A)+P(B)-p(AB).
(注:A后的数字1,2..,n都表示下标.)
勾股定理
勾股定理
在初二我们将初步学习勾股定理.
勾股定理又叫商高定理,毕氏定理,或称毕达哥拉斯定理(PythagorasTheorem).
在一个直角三角形中,斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和.如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a的平方+b的平方等于c的平方,,即α*α+b*b等于c*c
推广:把指数改为n时,等号变为小于号
据考证,人类对这条定理的认识,少说也超过4000年
勾股数:是指能组成a^+b^等于c^的三个正整数称为勾股数.
实际上,在更早期的人类活动中,人们就已经认识到这一定理的某些特例.除上述两个例子外,据说古埃及人也曾利用"勾三股四弦五"的法则来确定直角.但是,这一传说引起过许多数学史家的怀疑.比如说,美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出:"我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理.我们知道他们有拉绳人(测量员),但所传他们在绳上打结,把全长分成长度为3,4,5的三段,然后用来形成直角三角形之说,则从未在任何文件上得证实."不过,考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书,据专家们考证,其中一块上面刻有如下问题:"一根长度为30个单位的棍子直立在墙上,当其上端滑下6个单位时,请问其下端离开墙角有多远"这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子,专家们还发现,在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表,表刻有四列十五行数字,这是一个勾股数表:最右边一列为从1到15的序号,而左边三列则分别是股,勾,弦的数值,一共记载着15组勾股数.这说明,勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库.
勾股定理的应用非常广泛.我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载:"禹治洪水决流江河,望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,使注东海,无漫溺之患,此勾股之所系生也."这段话的意思是说:大禹为了治理洪水,使不决流江河,根据地势高低,决定水流走向,因势利导,使洪水注入海中,不再有大水漫溺的灾害,是应用勾股定理的结果.
勾股定理是几何学中的明珠,它充满魅力,千百年来,人们对它的证明趋之若鹜,其中有着名的数学家,画家,也有业余数学爱好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要权贵,甚至有国家总统.也许是因为勾股定理既重要又简单又实用,更容易吸引人,才使它成百次地反复被人炒作,反复被人论证.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑,其中收集了367种不同的证明方法.实际上还不止于此,有资料表明,关于勾股定理的证明方法已有500余种,仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法.这是任何定理无法比拟的.(※关于勾股定理的详细证明,由于证明过程较为繁杂,不予收录.)
人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广.
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理:"直角三角形斜边上的一个直边形,其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和".
从上面这一定理可以推出下面的定理:"以直角三角形的三边为直径作圆,则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和".
勾股定理还可以推广到空间:以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体,则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.
若以直角三角形的三边为直径分别作球,则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和.
如此等等.
勾股定理的证明方法
【证法1】(传说中毕达哥拉斯的证明)
图1图2
如图所示,作8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,再做三个边长分别为a,b,c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等.即
,整理得.
【证法2】(邹元治证明)
以a,b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图2所示形状,使A,E,B三点在一条直线上,B,F,C三点在一条直线上,C,G,D三点在一条直线上.四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.四边形ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于.
∴.∴.
【证法3】(赵爽证明)
以a,b为直角边(b>,a),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图(下页)所示形状.ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2.EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于.
∴.
∴.
图3图4
【证法4】(Garfield证明)
以a,b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A,E,B三点在一条直线上.则ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于.ABCD是一个直角梯形,它的面积等于.
∴∴.
【证法5】(马永庆证明方法1)
对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°得图5,该图是旋转90°得到的,所以∠BAE等于90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE面积相等,而四边形ABFE面积等于Rt⊿BAE和Rt⊿BFE的面积之和,所以:
S正方形ACFD等于S⊿BAE+S⊿BFE
即:.
整理:
∴a2+b2等于c2.
图5图6
【证法6】(马永庆证明方法2)
对任意的符合条件的两个全等的Rt⊿BEA和Rt⊿ACD拼成图6(此图也可以看成Rt⊿BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°,再向下平移得到).一方面,四边形ABCD的面积等于⊿ABC和Rt⊿ACD的面积之和,另一方面,四边形ABCD的面积等于Rt⊿ABD和⊿BCD的面积之和,所以:S⊿ABC+S⊿ACD等于S⊿ABD+S⊿BCD
即:.
整理:
∴a2+b2等于c2.
黄金分割点
(goldensectionratio)
【基本定义】
在分割时.在长度为全长的约0.618处进行分割.就叫作黄金分割.这个分割点就叫做黄金分割点
把一条线段分割为两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比.其比值是一个无理数,用分数表示为(√5-1)/2,取其前三位数字的近似值是0.618.由于按此比例设计的造型十分美丽,因此称为黄金分割,也称为中外比.这是一个十分有趣的数字,我们以0.618来近似表示,通过简单的计算就可以发现:
1/0.618等于1.618
(1-0.618)/0.618等于0.618
【黄金分割的举例与应用】
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画,雕塑,音乐,建筑等艺术领域,而且在管理,工程设计等方面也有着不可忽视的作用.
让我们首先从一个数列开始,它的前面几个数是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144等..这个数列的名字叫做"菲波那契数列",这些数被称为"菲波那契数".特点是即除前两个数(数值为1)之外,每个数都是它前面两个数之和.
菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢经研究发现,相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的.即f(n)/f(n-1)-→0.618等.由于菲波那契数都是整数,两个整数相除之商是有理数,所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数.但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时,就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的.
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形.五角星是非常美丽的,我们的国旗上就有五颗,还有不少国家的国旗也用五角星,这是为什么因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的.正五边形对角线连满后出现的所有三角形,都是黄金分割三角形.
由于五角星的顶角是36度,这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18度.
【发现历史】
由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割.
公元前4世纪,古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题,并建立起比例理论.他认为所谓黄金分割,指的是把长为L的线段分为两部分,使其中一部分对于全部之比,等于另一部分对于该部分之比.而计算黄金分割最简单的方法,是计算斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21..后二数之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21..近似值的.
黄金分割在文艺复兴前后,经过阿拉伯人传入欧洲,受到了欧洲人的欢迎,他们称之为"金法",17世纪欧洲的一位数学家,甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法".这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则",也就是我们现在常说的比例方法.
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果,进一步系统论述了黄金分割,成为最早的有关黄金分割的论着.
中世纪后,黄金分割被披上神秘的外衣,意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例,并专门为此着书立说.德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割.
其实有关"黄金分割",我国也有记载.虽然没有古希腊的早,但它是我国古代数学家独立创造的,后来传入了印度.经考证.欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的,而不是直接从古希腊传入的.
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行.黄金分割数有许多有趣的性质,人类对它的实际应用也很广泛.最着名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法,是由美国数学家基弗于1953年首先提出的,70年代在中国推广.
【黄金分割点的几何作法】
已知线段AB,按照如下方法作图:
(1)经过点B作BD⊥AB,使BD等于AB/2.
(2)连接AD,在DA上截取DE等于DB.
(3)在AB上截取AC等于AE.则点C为线段AB的黄金分割点
【黄金分割的美学价值】
因为它在造型艺术中具有美学价值,在工艺美术和日用品的长宽设计中,采用这一比值能够引起人们的美感,在实际生活中的应用也非常广泛,建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割,舞台上的报幕员并不是站在舞台的正,而是偏在台上一侧,以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观,声音传播的最好.就连植物界也有采用黄金分割的地方,如果从一棵嫩枝的顶端向下看,就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的.在很多科学实验中,选取方案常用一种0.618法,即优选法,它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件.正因为它在建筑,文艺,工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用,所以人们才珍贵地称它为"黄金分割".
黄金分割(GoldenSection)是一种数学上的比例关系.黄金分割具有严格的比例性,艺术性,和谐性,蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取1.618,就像圆周率在应用时取3.14一样.并且人们认为如果符合这一比例的话,就会显得更美,更好看,更协调.
在生活中,对"黄金分割"有着很多的应用.
最完美的人体:肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离等于0.618
最漂亮的脸庞:眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离等于0.618
做馒头时放的发酵粉的量与面粉的比值是0.618那做的馒头最好吃.
在企业经营管理中,从经验来看,资产负债率(即负债总额除资产总额)应以黄金分割点为临界点,如果高于这个点就可能面临较大经营风险(当然象银行这类企业可以例外),目前正在进行科学论证中.
结言
数学是研究数量,结构,变化以及空间等感念的一门学科.透过抽象化和逻辑,由计数,计算,量度和对物体形状及运动的观察中产生.数学家们拓展这些感念,为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理.因此也可以说数学向前的发展是唯一建立在前者正确的结论上堆积起来的学科.这便是数学与物理化学生物等学科的不同,也是数学独特的伟大之处.
我们从一出生便开始接触数学.还记的我们最早学的数学便是爸爸妈妈告诉我们一个苹果再加一个苹果会有两个苹果.从此,数学便会伴随我们一生,数学的属性便是事物的属性,有数学才会有世界玩物.
今日,数学被使用在世界上不同的领域上,包括科学,工程,医学和经济学等.例如黄金比例被应用在建筑或艺术上,勾股定理被用在工程建设上,概率被应用在经济学上等等.因此可以说社会的发展是建立在数学的基础上的.
与其说数学是一门学科,倒不如说其是一门艺术,一门融入我们生活并伴随我们一生的艺术.
附件一
湖南师大附中海口中学研究性学习
开题报告表
(2016)届(7)班
课题名称走进奇妙数学世界开题时间2016-8-20拟结题时间
课题
团队组长陈奕樽导师张江涛组员侯智贤,陈义明主导课程:综合实践活动相关课程:数学
研
究
背
景
提出问题,阐述研究该课题的原因.
数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.1+1等于2,概率,勾股定理,黄金分割点等都是数学中极具代表性的知识,我们此次所做的研究性报告便是对这些知识的描述与探究.从中可以体验到真正的数学世界的奇妙与伟大.
研
究
意
义
通过该课题研究将解决什么问题(或得到什么结论),而这一问题的解决(或结论的得出)有什么意义.
通过对该课题的研究,让我们从定义性质,历史,推理过程和应用等方面对这些数学中具有代表性的知识有了进一步的了解,这对我们学习数学有了很大的帮助,这不但让我们对数学学科有了更深入的学习,也让我们对该学科添增了不少乐趣.
研
究
内
容
范
围(1)1+1等于2的出现和故事,
(2)概率的性质,定义,类别和生活实例,
(3)勾股定理的历史和推理证明方法,
(4)黄金分割点的基本定义,举例与应用,发现历史,几何作法和美学价值.
方
法
和
措
施
上网查阅相关资源,
对有关人员进行课题访问,
亲身采访,并做记录,
讨论调查成果,展出言论并总结研究
所需
条件学校图书馆,电脑,数学老师,校外公共场所
计划访问
的专家校内数学老师校外补习班老师,大学生
预期的成果
对数学学科有了更深入的学习,
对该学科添增了不少乐趣,
实践能力有了提高.
课题
研究的计划
活
动
安
排活动时间活动内容活动方式2016-8-15查阅资料网上查阅2016-8-20查找历史,推理过程以及它们在生活中的应用图书馆查找2016-9-30向数学老师们请教一些具体的数学知识向专家咨询2016-9-30采访行人亲身采访2016-8-21为了更清晰概率的意义和作用实验
小
组
分
工姓名主要负责事项陈奕樽组织分工,总结归纳,课题实验陈义明搜集网上资料以及整理所搜集资料,并撰写论文侯智贤实地采访,撰写论文,排版
导师意见
该课题一定程度上能唤起学生对数学的兴趣,激发他们学习的动力,同意开题.张江涛
附件二
湖南师大附中海口中学研究性学习课程
小组活动记录表
(2016)届(7)班
一
课题题目走进奇妙的数学世界
主持人陈义明时间:2016-8-15和8-16次数:(2)次地点:成员家中
记录员陈奕樽参加成员陈义明,侯智贤,陈奕樽
活动目的对数学知识进行网上查阅.
活动过程这两次的研究性学习我们选在了成员的家中,任务是为了查阅资料,因为我们的课题是关于数学的一些具有代表性的知识,所以必须有它们的历史,推理过程以及它们在生活中的应用.所以必须在网上找出相关的资源.由于所需资料众多,因此进行了两次活动.
第一次我们如同大海捞针般,不知道重合查找,于是我们首先冷静下来,确定好要查找的内容.最终确定下来查找数学知识中的四个方面的知识.
第二次活动,因为确定的问题具有代表性,在百度里输入关键字后,很快便在百度百科中找到了想要的资料.我们慢慢的阅读这些资料,很快便对它们产生了兴趣,发现它们的历史和推理过程都很容易让人着迷.
活动评价此次活动让我们了解了更多的数学知识,对于数学有了进一步的了解.总体来说此次查阅资料十分成功.
二
课题题目走进奇妙的数学世界
主持人侯智贤时间:2016-8-20次数:(1)次地点:学校图书馆
记录员陈义明参加成员陈义明,侯智贤,陈奕樽
活动目的查阅数学相关知识的书面资料.
活动过程这一次的研究性学习我们选在了我们学校的图书馆,任务是为了查阅关于此次研究性课题报告的资料,我们的课题是关于数学的一些具有代表性的知识,必须有它们的历史,推理过程以及它们在生活中的应用.
于是我就在图书馆里查阅了相关的书籍,做了些简要重点的笔记.
活动评价此次活动让我们了解了更多的数学知识,对于数学有了进一步的了解.总体来说此次查阅资料十分成功.
三
课题题目走进奇妙的数学世界
主持人陈奕樽时间:2016-9-3和9-4次数:(2)次地点:学校办公室
记录员陈奕樽参加成员陈奕樽,侯智贤
活动目的请老师指导一些具体数学知识.
活动过程这次的研究性学习我们选在了学校老师办公室,任务是向数学老师们请教一些具体的数学知识.由于知识较多,我们进行了两次活动.
1,第一次我们到高二年级办公室找到了高二5班黄祥生老师针对我们报告中1+1等于2和概率方面咨询了一些问题,老师很细心的为我们讲解,对我们报告有很大的帮助.
2,第二次活动我们依旧在高二年级办公室,这次我们找到了7班班主任张江涛,向他咨询了一些勾股定理,黄金分割点的数学知识,老师同样为我们讲解了许多.
活动评价此次活动让我们不仅了解了更多的数学知识,还对相关的专家进行了请教.对于数学有了进一步的了解.总体来说此次查阅资料十分成功.
附件三
自我评价
在暑检测期间,我们小组共同合作完成了此项关于数学知识的学习探究.并对一些数学知识进行了详细的介绍与研究分析,在这其中,我们也收获了不少.
通过此次对数学的深入探究让我们了解了数学的奇妙,并最终选择了1+1等于2,概率,勾股定理,黄金比例这四个及具代表性又被大家所熟悉的知识做出了以上探究报告.这不但让我们对数学学科有了更深入的学习,也让我们对该学科添增了不少乐趣.在不断的学习和探索的过程中,我学会了许多知识,自己的时间能力也有了提高.
—陈奕樽
经过这次活动,让我体会到,做这一个完整的实践报告是非常不容易的.我们分工合作,大家都很认真的把自己的任务完成,组长陈奕樽也非常负责的带领我们一起分工,这让我体会到.一个集体.最重要的是团结,每个人在这个组里面都非常重要,我们是一个整体,而不是一个人.
最让我们受益匪浅的是,我们的课题研究过程.找文本的找文本,查资料的查资料,总结的总结.这些过程,大家都付出好多好多..没有我们大家一起的齐心是做不好这份完整的报告的,大家的辛苦全都凝聚在这份实践报告上.
我们的辛苦没白费,因为我们都努力付出了！
—陈义明
这次课题研究性报告到这里已经接近尾声了.这份课题报告是我们3个小组成员,花了大量的时间和精力所完成的.现在回首看看我们的作品,不禁让我发出感慨:我们的努力没有白费！
在活动进行的过程中,我们也有过争执,有过意见不合.但我们拥有的更多是欢声笑语和共同的成就感.过程是开心的,收获是满满的.在研究过程中我们不但学习到了知道,也更加巩固了彼此的友谊,让我们学会了团结的重要性.
总之,这次课题研究性报告,让我们受益匪浅！
—侯智贤
组员互评
大家的表现都很好,都十分认真,努力,负责任.在其中.我觉得陈奕樽是表现最突出的一位.
他对工作十分负责.每次的任务都会高质量的提前完成.可以说是一个工作中存在的漏洞找出来.加以改正.
因此,他对我们十分严格.可以说.比鬼还恐怖.但是有了他.我们的工作才如此完美.有了他,我门的团队才如此团结.
—陈义明
在我们的课题研究报告中,每位组员都尽自己所能做到自己应该做的事,在这我要提的是陈义明同学.他在活动中主要担任查找资料方面的工作,他查找的许多资料都对我们的报告有很大的帮助与用途.
做为小组中的一员,他认真负责,只要有任务交给他,他都会义无返顾的去做,并且做到最好.虽然他不是组长,但同样也是我们课题小组不可缺少的组员,如果没有他我们也不能做出现在这样的课题报告.
这份课题研究报告,正是我们三个人共同完成的,缺一不可,相信我们的努力不会白费.
—侯智贤
经过一系列的计划和安排,终于完成了这份课题报告.每个人都完成了自己的任务,过程是如此的顺利.这脱离不了我们每个人的努力和我们精心合作,所以我们的论文能提前完成,侯智贤同学在其中付出了比其他人更多的努力.
在我安排好分工的任务后,他已经很快的超额完成自己的任务,并还帮助其他同学.在最后还对我们整篇文章进行了修改.他使我们组更加的团结并使我们更好的完成了这项任务,这使我看到了每个人对工作的负责和努力.
我们在合作中都各自的找出了自己的缺点并查漏补缺,并都提高了自身能力.在挫折和困难面前也学会了互相帮助.
—陈奕樽
附件四
湖南师大附中海口中学研究性学习活动
学生自我总结表
(2016)届(5)班姓名:侯智贤
教科室制表
课题
名称走进奇妙数学世界
──数学研究型课题报告指导老师张江涛总结陈述我主要做了哪些工作
我的贡献情况如何在小组中我主要做了实地采访,撰写论文,排版等工作,小组人数不多,因此做的工作比较多,贡献自然也比较多.
没能完成或完成不好的是什么哪些同学值得我学习为什么完成不好的是在网上查找资料,由于网上资料众多,相对也比较混杂,因此很多资料并没用上.
最值得我学习的就是组长陈奕樽,因为他很负责.
我提出哪些意见和建议(其中,哪些得到了其他同学的赞同哪些引起了同学们的讨论)
我从其他同学的发言中受到哪些启发我提出了例如研究数学哪些方面的建议,使得大家一起进行的讨论.我们从陈奕樽同学的发言中知道了我们要认真对待实践报告.学习过程中,我遇到的最大困难是什么产生这些困难的原因有哪些遇到的最大困难是许多基础知识不了解,由于研究的数学内容综合性很强,因此要对知识有所了解才能进行研究.
学习过程中,我有哪些感受和体会通过学习,我了解了数学世界的伟大,也知道了实践报告的重要性,从中我们收获了很多,也学习到了很多,是次很有意义的活动.
(2016)届(7)班姓名:陈奕樽
教科室制表
课题
名称走进奇妙数学世界指导老师张江涛总结陈述我主要做了哪些工作
我的贡献情况如何主要是组织分工,在网上摘录资料并排版整理,对课题中所研究的问题进行实验.没能完成或完成不好的是什么哪些同学值得我学习为什么完成不好的是计划和安排,由于人员分配的不妥当在撰写过程中出现了错误,浪费了大部分时间.
侯智贤同学在其中付出了比其他人更多的努力,他能很及时地查漏补缺,很快发现了报告里的不足之处,这使我们每次的任务都会高质量的提前完成.我提出哪些意见和建议(其中,哪些得到了其他同学的赞同哪些引起了同学们的讨论)
我从其他同学的发言中受到哪些启发我提出了动手做课题相关实验,更好的研究课题的意见,得到了组员的赞同.在实验中每个环节都他们都严格的认真负责,这使我看到了每个人对工作的负责和努力.学习过程中,我遇到的最大困难是什么产生这些困难的原因有哪些最大的困难是如何从大量的资料中筛选出有用的来,因为我们的课题是关于数学的一些具有代表性的知识,所以必须有它们的历史,推理过程以及它们在生活中的应用.所以必须找出相关资源.
学习过程中,我有哪些感受和体会最让我受益匪浅的是,一个集体.最重要的是团结,每个人在这个组里面都非常重要,我们是一个整体,而不是一个人.
(2016)届(7)班姓名:陈义明
教科室制表
课题
名称走进奇妙的数学世界
指导老师张江涛总结陈述我主要做了哪些工作
我的贡献情况如何主要是搜集网上资料,将网上一些相关资料摘录以及整理所搜集资料,将资料按照格式整理好并撰写论文.没能完成或完成不好的是什么哪些同学值得我学习为什么完成不好的是活动记录,因为活动记录有些是在室外进行的,难免会有许多客观的因素干扰我们的观察与记录.陈奕樽同学在其中付出了很多.在进行活动记录的当天,天气不好,下了暴雨,可是他还是按时完成了自己的任务,他使我们组更加的团结并使我们更好的完成了这项任务,这使我看到了每个人对工作的负责和努力.我提出哪些意见和建议(其中,哪些得到了其他同学的赞同哪些引起了同学们的讨论)
我从其他同学的发言中受到哪些启发研究过程中建议了组员去询问课题相关方面的专家,他们很愉快的接受并执行.其中在咨询的过程中我们组员和专家有了很多次的讨论,从大家的发言中,告诉我团结才能更好的做好这件事情,精心合作就是力量！学习过程中,我遇到的最大困难是什么产生这些困难的原因有哪些最大的困难当然是客观的因素.因为这个过程中是我们组都很团结,只是在研究的过程中有了几次各种客观方面的阻碍,但最后我们还是通过讨论采取最好最恰当的方法措施,很好的解决了这个问题,组员也在这个过程中感受到了快乐.学习过程中,我有哪些感受和体会在不断的学习和探索的过程中,我们遇到很多困难和争执,但我们还是坚持了下来,为此都付出了自己的努力和汗水.所以也得到了我们想要的结果.
附件五
导师评语
作为一名数学老师看到学生做完走进奇妙的数学世界,深深的感动了,这三名学生都是文科班的学生,大家都知道文科学生普遍对数学有一种恐惧的感觉,三位学生通过自己的查阅资料,自己实验的方法总结了我们生活中几个常见的数学应用问题.希望通过这次研究性学习,培养他们对学习数学的积极性,也带动文科班学习数学的兴趣.
--张江涛
湖南师大附中海口中学研究性学习学分认定表
(2016)届(7)班
课题组名称___走进奇妙的数学世界指导老师签字:
课题组长:陈奕樽成员:侯智贤,陈义明
项目分值说明自评分得分备注结题报告
40分内容35字数应在3000字左右,要反映出从选题到结题的整个过程的基本情况,应包括问题提出,研究过程,成效分析,问题思考等模块.3433如果只是网络资料的拼凑,汇编,该项不得分.格式5包含标题,关 键 词,内容简介,正文,索引.54附录
25分开题报告10认真填写并及时上交开题报告.99过程材料
15与活动相应的采访提纲,采访实录,调查问卷及问卷分析,实验,实践研究等其它活动材料.1414小组活动过程记录15分次数5活动次数不少于5次55记录10活动记录包括文字记录,音像记录等,文字记录以活动记录表为准.99活动体会与
评价
15分心得体会5课题组成员活动过程中的自我反思和心得体会.54.自评2课题组成员进行自我评价.22互评3组员之间相互评价.33师评5指导老师的评价.55装订规范(5分)5封面,目录,结题报告,附录,过程记录,课题组成员的自我反思与心得体会,课题组成员的自评,互评,指导教师的评语,其他相关资料,用A4纸打印.44总分1009592
附件六
一
实验
课题研究背景
随机事件出现的可能性的量度.在一定条件下,重复做n次试验,nA为n次试验中事件A发生的次数,如果随着n逐渐增大,频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近,则数值p称为事件A在该条件下发生的概率,记做P(A)等于p.这个定义成为概率的统计定义.
二、实验的目的
nA/n是否就是事件的概率.当试验次数n逐渐增大,频率nA是否稳定在其概率p上.
三、实验的方法和条件
方法:掷,记录下某一点数在一次有限次数的实验中出现的次数.
条件:质地均匀.
四、方法思路及活动过程
将出现6点的次数记录下来,并除以实验的总次数n.看P(A)是否与nA/n的数值接近.
总次数:30,出现6的点数:6
五、实验评价
在此次实验中我们更清晰了概率的意义和作用,加深了我们对概率的印象.最重要的是让我们了解到,要想最好知道真理的内涵,就必须动手实践,通过实践,我们体会到了那个过程中的快乐.
二
采访记录
活动地点:明珠广场
访问对象:行人(甲,乙两人)
(一)
课题成员(以下简称课):您好,我是湖南师大附中海口中学高二的一名学生,我们们今天要做一个课题研究性报告,在这想对您做一个简单的访问,只需回答我们几个简单的问题,耽误您一点时间,请问可以吗
甲:好吧,我很乐意,你问吧.
课:好的,非常感谢,我们的问题是关于数学的.请问您知道勾股定理的定义吗
甲:哦,好像是直角三角形两个直角边的平方的和等于斜边平方的和吧,对吗
课:是的,非常正确！那还有一个问题,请问您知道黄金分割点是怎么发现的吗
甲:这个问题好难啊,这个我就回答不出来咯,真不好意思.
课:呵呵,没关系的,我的问题问完了,在此感谢你的合作,谢谢！
甲:不客气不客气.
课:那再见咯.
甲:好的,再见.
(二)
课:您好,我是湖南师大附中海口中学高二的一名学生,今天我们在这要做一个关于数学课题研究性报告的访问,只需要您回答几个关于数学方面的简单问题,稍微耽误您一点时间,请问可以吗
乙:好的,你问吧.
课:好,非常感谢.数学在我们生活中无处不在,我想问下,您还记的最早接触的跟有关的数学是什么呢
乙:呵呵,这个好像是小时候家长说的,一个苹果加上一个苹果等于两个苹果吧,也就是一加一等于二啦.
课:呵呵,对啊,这也是最简单最基本的数学常识了啊.好的,那下面一个问题,您能举出一两个我们生活中与概率有关的事例吗
乙:这个有很多啊,像写彩票的几率啊,抽签抽中啊,应该都是跟概率有关吧.
课:好的,我的问题问完了,再次谢谢你的合作,非常感谢.
乙:恩,没什么,小事情,不用谢.
课:好的,那就再见咯.
乙,恩,再见.
湖南师大附中海口中学研究性学习
课题指导教案
(2016—2016)学年度(上)学期
指导教师张江涛时间08.09.20地点高二办公室课题名称热力四射的街舞世界课题组
组长陈奕樽课题组成员侯智贤陈义明指导过程简录在学生选题的时候,指导学生选自己喜欢的课题,最终确定了"走进数学奇妙世界"这个课题,并知道学生攥写开题报告,尤其是课题的总体计划,在实践体验阶段,监督和督促学生按自己制订的计划有条理的去完成自己的课题.做好活动记录,并搜集各种有价值的信息.完成研究性课题的初稿.在表达和交流阶段指导他们按学校的相关要求做好研究性课题材料.
体会和思考通过指导他们这次的研究性课题,我感受颇深,陈奕樽他们几个人每一位都非常尽职尽则,团结协作,圆满的完成了这次研究性学习.值得思考是当代中学生动手能力差,缺乏克服困难的拼劲,应在以后的学习和生活中加强培养和锻炼.
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